Номер 7, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.7. Два цеха производят одинаковые детали, которые затем поступают на общий конвейер. В первом цеху выпускается в два раза больше деталей, чем во втором. Вероятность выпуска качественной детали в первом цеху равна 0,6, а во втором — 0,84. Найдите вероятность того, что наудачу выбранная с конвейера деталь:

а) оказалась качественной;

б) произведена в первом цеху;

в) произведена во втором цеху.

Для решения задачи введем следующие события:

• $H_1$ — событие, состоящее в том, что деталь произведена первым цехом.
• $H_2$ — событие, состоящее в том, что деталь произведена вторым цехом.
• $A$ — событие, состоящее в том, что наудачу выбранная деталь оказалась качественной.

По условию, первый цех выпускает в два раза больше деталей, чем второй. Если второй цех производит долю $p$ от общего количества деталей, то первый производит долю $2p$. Так как других цехов нет, их суммарная доля равна 1: $p + 2p = 1$, откуда $3p=1$ и $p=\frac{1}{3}$.

Таким образом, вероятности того, что деталь произведена определенным цехом (априорные вероятности), равны:

$P(H_1) = 2p = \frac{2}{3}$

$P(H_2) = p = \frac{1}{3}$

Условные вероятности выпуска качественной детали для каждого цеха известны из условия:

$P(A|H_1) = 0,6$

$P(A|H_2) = 0,84$

а) оказалась качественной;
Вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется качественной, находится по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2)$

$P(A) = \frac{2}{3} \cdot 0,6 + \frac{1}{3} \cdot 0,84 = \frac{1,2}{3} + \frac{0,84}{3} = \frac{1,2 + 0,84}{3} = \frac{2,04}{3} = 0,68$

Ответ: 0,68.

Задания б) и в) в контексте подобных задач подразумевают нахождение условных вероятностей по формуле Байеса. То есть, необходимо найти вероятность того, что деталь была произведена в первом (или втором) цеху, при условии, что она оказалась качественной.

б) произведена в первом цеху;
Найдем вероятность $P(H_1|A)$ — того, что качественная деталь была произведена в первом цеху:

$P(H_1|A) = \frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}$

$P(H_1|A) = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0,6}{0,68} = \frac{0,4}{0,68} = \frac{40}{68} = \frac{10}{17}$

Ответ: $\frac{10}{17}$.

в) произведена во втором цеху.
Найдем вероятность $P(H_2|A)$ — того, что качественная деталь была произведена во втором цеху:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2)P(A|H_2)}{P(A)}$

$P(H_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,84}{0,68} = \frac{0,28}{0,68} = \frac{28}{68} = \frac{7}{17}$

В качестве проверки можно убедиться, что сумма вероятностей равна 1: $P(H_1|A) + P(H_2|A) = \frac{10}{17} + \frac{7}{17} = 1$.

Ответ: $\frac{7}{17}$.