Номер 1, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.1. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных. Из одной урны вынимают шар. Тогда полную группу гипотез составляют:

а) $H_1$ — шар вынут из первой урны, $H_2$ — шар вынут из второй урны;

б) $H_1$ — белый шар вынут из первой урны, $H_2$ — черный шар вынут из второй урны;

в) $H_1$ — шар вынут из первой урны, $H_2$ — шар вынут из второй урны, $H_3$ — шар вынут из первой или из второй урны;

г) $H_1$ — белый шар вынут из первой урны, $H_2$ — белый шар вынут из второй урны; $H_3$ — вынут черный шар.

Выберите правильный ответ.

Полная группа гипотез (или событий) — это набор событий, которые удовлетворяют двум основным условиям:

1. Попарная несовместность: В результате одного испытания не могут произойти два события из этой группы одновременно. Это означает, что наступление одного из них исключает наступление любого другого. Математически: $H_i \cap H_j = \emptyset$ для всех $i \neq j$.
2. Исчерпываемость (полнота): В результате испытания обязательно произойдет одно из событий этой группы. Их объединение составляет всё пространство элементарных исходов $\Omega$. Математически: $H_1 \cup H_2 \cup \dots \cup H_n = \Omega$.

В контексте данной задачи, эксперимент состоит из двух этапов: сначала случайным образом выбирается одна из двух урн, а затем из нее вынимается шар. Гипотезы, как правило, строятся относительно первого, предварительного, этапа эксперимента — в данном случае, выбора урны. Проанализируем предложенные варианты:

а) $H_1$ — шар вынут из первой урны, $H_2$ — шар вынут из второй урны;
Эти два события являются несовместными: шар вынимают либо из первой, либо из второй урны, но не из обеих сразу. Условие попарной несовместности выполняется. Эти события исчерпывают все возможности, так как по условию шар вынимают "из одной урны", и у нас их всего две. Других вариантов выбора нет. Условие полноты выполняется. Следовательно, этот набор событий является полной группой гипотез.
Ответ: данный набор событий составляет полную группу гипотез.

б) $H_1$ — белый шар вынут из первой урны, $H_2$ — черный шар вынут из второй урны;
Эти события не исчерпывают всех возможных исходов. Например, не учтены такие возможности, как "из первой урны вынут черный шар" или "из второй урны вынут белый шар". Поскольку объединение этих событий не покрывает все пространство исходов ($H_1 \cup H_2 \neq \Omega$), они не образуют полную группу. Условие полноты не выполняется.
Ответ: данный набор событий не составляет полную группу гипотез.

в) $H_1$ — шар вынут из первой урны, $H_2$ — шар вынут из второй урны, $H_3$ — шар вынут из первой или из второй урны;
События в этой группе не являются попарно несовместными. Событие $H_3$ является объединением событий $H_1$ и $H_2$. Если происходит событие $H_1$ (шар вынут из первой урны), то автоматически наступает и событие $H_3$. Таким образом, $H_1$ и $H_3$ совместны. То же самое верно для $H_2$ и $H_3$. Это нарушает условие попарной несовместности.
Ответ: данный набор событий не составляет полную группу гипотез.

г) $H_1$ — белый шар вынут из первой урны, $H_2$ — белый шар вынут из второй урны; $H_3$ — вынут черный шар.
Этот набор событий представляет собой разделение всего пространства возможных исходов на непересекающиеся части (математически, это разбиение пространства элементарных исходов). Они действительно попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие. Однако в классической теории вероятностей под "гипотезами" обычно понимают предположения о начальных, неопределенных условиях эксперимента (в данном случае — из какой урны будет вынут шар), а не конечные исходы, которые сочетают в себе и условие, и результат. Стандартным и наиболее корректным подходом является определение гипотез по выбору урны, как в пункте а), что позволяет затем применять формулу полной вероятности для нахождения вероятности последующих событий (например, вероятности вынуть белый шар).
Ответ: данный набор событий не является каноническим определением группы гипотез для этой задачи.

Таким образом, единственным правильным и общепринятым вариантом, описывающим полную группу гипотез для данного эксперимента, является вариант а).