Номер 4, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.4. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле первого стрелка 0,9, второго — 0,8. Найдите вероятность того, что:

a) при одном залпе мишень будет поражена только вторым стрелком;

б) при одном выстреле мишень будет поражена только один раз.

Для решения данной задачи по теории вероятностей введем следующие обозначения для событий:

• Событие $A$ — первый стрелок попадает в мишень при одном выстреле.
• Событие $B$ — второй стрелок попадает в мишень при одном выстреле.

Согласно условию задачи, вероятности этих событий равны:

• $P(A) = 0,9$
• $P(B) = 0,8$

Также нам потребуются вероятности противоположных событий (промахов):

• Событие $\bar{A}$ — первый стрелок промахивается. Вероятность этого события вычисляется как $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$.
• Событие $\bar{B}$ — второй стрелок промахивается. Вероятность этого события вычисляется как $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Выстрелы обоих стрелков являются независимыми событиями. Это означает, что исход выстрела одного стрелка не влияет на исход выстрела другого. Поэтому для нахождения вероятности совместного наступления независимых событий мы будем перемножать их вероятности.

а) при одном залпе мишень будет поражена только вторым стрелком;
Это событие произойдет, если одновременно случатся два события: первый стрелок промахнется (событие $\bar{A}$), и второй стрелок попадет (событие $B$).
Вероятность этого составного события равна произведению вероятностей этих двух независимых событий:
$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08$.
Ответ: 0,08

б) при одном выстреле мишень будет поражена только один раз.
Это событие может произойти в двух взаимоисключающих (несовместных) случаях:
1. Первый стрелок попал (событие $A$), а второй стрелок промахнулся (событие $\bar{B}$).
Вероятность этого случая: $P_1 = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,9 \cdot 0,2 = 0,18$.
2. Первый стрелок промахнулся (событие $\bar{A}$), а второй стрелок попал (событие $B$).
Вероятность этого случая: $P_2 = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08$.
Поскольку эти два случая не могут произойти одновременно, искомая вероятность равна сумме их вероятностей:
$P(\text{одно попадание}) = P_1 + P_2 = 0,18 + 0,08 = 0,26$.
Ответ: 0,26