Номер 2, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.2. Подбросили две монеты. Если событие А — «герб выпал на первой монете», событие В — «герб выпал на второй монете», то событие $A\bar{B} + \bar{A}B$ означает:

а) не выпало ни одного герба;

б) выпал только один герб;

в) выпало два герба;

г) выпал герб на одной из монет.

Выберите правильный ответ.

Давайте разберем, что означает данное выражение в терминах теории вероятностей.

• Событие $A$ — «герб выпал на первой монете».
• Событие $B$ — «герб выпал на второй монете».

События с чертой сверху ($\overline{A}$, $\overline{B}$) являются противоположными событиями:

• $\overline{A}$ — «герб НЕ выпал на первой монете», то есть выпала решка.
• $\overline{B}$ — «герб НЕ выпал на второй монете», то есть выпала решка.

В алгебре событий:

• Произведение событий (записывается как $XY$) означает, что оба события ($X$ и $Y$) происходят одновременно (союз «и»).
• Сумма событий (записывается как $X+Y$) означает, что происходит хотя бы одно из событий ($X$ или $Y$) (союз «или»).

Рассмотрим выражение $A\overline{B} + \overline{A}B$:

• Слагаемое $A\overline{B}$ означает, что событие $A$ произошло (герб на первой монете) и событие $\overline{B}$ не произошло (решка на второй монете). Этот исход — (Герб, Решка).
• Слагаемое $\overline{A}B$ означает, что событие $A$ не произошло (решка на первой монете) и событие $B$ произошло (герб на второй монете). Этот исход — (Решка, Герб).

Сумма $A\overline{B} + \overline{A}B$ означает, что произошло либо событие $A\overline{B}$, либо событие $\overline{A}B$. В обоих случаях результатом является выпадение ровно одного герба и одной решки.

Проанализируем предложенные варианты:

а) не выпало ни одного герба; Ответ: неверно. Это событие соответствует ситуации (Решка, Решка), что в терминах алгебры событий записывается как $\overline{A}\overline{B}$.

б) выпал только один герб; Ответ: верно. Это утверждение точно описывает ситуацию, когда выпадает либо (Герб, Решка), либо (Решка, Герб), что соответствует выражению $A\overline{B} + \overline{A}B$.

в) выпало два герба; Ответ: неверно. Это событие соответствует ситуации (Герб, Герб), что записывается как $AB$.

г) выпал герб на одной из монет. Ответ: неверно. Данная формулировка чаще всего понимается как «выпал хотя бы один герб». Это событие ($A+B$) включает в себя три исхода: (Герб, Решка), (Решка, Герб) и (Герб, Герб). Исходное выражение $A\overline{B} + \overline{A}B$ описывает только первые два исхода. Поэтому вариант «б» является более точным и единственно правильным ответом.

Таким образом, правильный ответ — б).