Номер 12, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.12. В шахматном турнире участвуют 16 человек, которые будут разделены по жребию на две группы по 8 человек. Какова вероятность того, что два наиболее сильных участника будут играть в одной группе?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Условная вероятность (более простой)

Этот метод не требует сложных комбинаторных вычислений и является более интуитивным.

1. Представим, что мы распределяем участников по местам в двух группах. Зафиксируем одного из двух сильнейших участников. Назовем его Участник А. Неважно, в какую группу и на какое место он попадет.
2. После того как Участник А занял свое место, остается 15 свободных мест для остальных 15 участников.
3. В группе, куда попал Участник А, осталось $8 - 1 = 7$ свободных мест.
4. Теперь рассмотрим второго сильнейшего участника, Участника Б. Ему может достаться любое из 15 оставшихся мест.
5. Событие, которое нас интересует, — это попадание Участника Б в ту же группу, что и Участник А. Для этого он должен занять одно из 7 свободных мест в этой группе.
6. Вероятность этого события равна отношению числа "благоприятных" мест (мест в той же группе) к общему числу свободных мест.

Таким образом, искомая вероятность $P$ равна:

$$ P = \frac{\text{Количество свободных мест в группе Участника А}}{\text{Общее количество свободных мест}} = \frac{7}{15} $$

Способ 2: Комбинаторный (более формальный)

Этот метод основан на подсчете общего числа исходов и числа благоприятных исходов.

1. Найдем общее число способов разделить 16 человек на две группы по 8. Для этого достаточно посчитать, сколькими способами можно сформировать одну группу из 8 человек. Остальные 8 человек автоматически образуют вторую группу. Число таких способов равно числу сочетаний из 16 по 8.

   Общее число исходов $N = C_{16}^8 = \frac{16!}{8!(16-8)!} = \frac{16!}{8!8!} = 12870$.

2. Теперь найдем число благоприятных исходов $M$, при которых два сильнейших участника оказываются в одной группе. Это может произойти, если они оба попадут в первую группу или оба во вторую.

   • Случай 1: Оба сильнейших участника в первой группе.
     Если два сильнейших участника уже в этой группе, то нам нужно добрать к ним еще $8 - 2 = 6$ человек из оставшихся $16 - 2 = 14$ участников. Число способов сделать это:

     $$ M_1 = C_{14}^6 = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6!8!} = 3003 $$

   • Случай 2: Оба сильнейших участника во второй группе.
     Это означает, что первая группа полностью состоит из 8 человек, выбранных из 14 "не сильнейших" участников. Число способов сделать это:

     $$ M_2 = C_{14}^8 = \frac{14!}{8!(14-8)!} = \frac{14!}{8!6!} = 3003 $$

3. Общее число благоприятных исходов равно сумме исходов этих двух случаев:

   $$ M = M_1 + M_2 = 3003 + 3003 = 6006 $$

4. Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

   $$ P = \frac{M}{N} = \frac{6006}{12870} $$

5. Сократим полученную дробь:

   $$ P = \frac{6006}{12870} = \frac{3003}{6435} = \frac{7 \cdot 429}{15 \cdot 429} = \frac{7}{15} $$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Вероятность того, что два наиболее сильных участника будут играть в одной группе, равна $\frac{7}{15}$.