Номер 11, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.11. Из 7 лотерейных билетов два выигрышных. Выбирают три билета. Какова вероятность, что ровно один билет из трех выбранных выигрышный?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию A.

1. Определение общего числа исходов (n).

Общее число исходов – это количество способов выбрать 3 билета из 7 имеющихся. Так как порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Таким образом, всего существует 35 различных способов выбрать 3 билета из 7.

2. Определение числа благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход – это когда из трех выбранных билетов один оказывается выигрышным, а два других – проигрышными. Всего в наборе 7 билетов, из которых 2 выигрышных и $7 - 2 = 5$ проигрышных.

Количество способов выбрать 1 выигрышный билет из 2-х имеющихся:

$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$

Количество способов выбрать 2 проигрышных билета из 5-ти имеющихся:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно произведению этих двух величин:

$m = C_2^1 \times C_5^2 = 2 \times 10 = 20$

Следовательно, существует 20 способов выбрать 1 выигрышный и 2 проигрышных билета.

3. Расчет вероятности.

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{20}{35}$

Сократим полученную дробь на 5:

$P(A) = \frac{20 \div 5}{35 \div 5} = \frac{4}{7}$

Какова вероятность, что ровно один билет из трех выбранных выигрышный? Ответ: $\frac{4}{7}$