Номер 10, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.10. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. На экзамене студент должен ответить на 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на оба вопроса?

Для решения данной задачи можно использовать два подхода: через комбинаторику (классическое определение вероятности) или через условную вероятность.

Метод 1: Использование комбинаторики

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдём общее число исходов (N).

Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 случайных вопроса из 60 имеющихся. Порядок вопросов в билете не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число вопросов $n=60$, а в билете $k=2$ вопроса. Следовательно, общее число исходов равно:

$N = C_{60}^2 = \frac{60!}{2!(60-2)!} = \frac{60!}{2! \cdot 58!} = \frac{59 \cdot 60}{2 \cdot 1} = 59 \cdot 30 = 1770$

Таким образом, существует 1770 различных вариантов экзаменационных билетов.

2. Найдём число благоприятных исходов (M).

Благоприятный исход — это вариант билета, в котором оба вопроса студент знает. По условию, студент знает 50 вопросов. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 вопроса из этих 50.

Здесь $n=50$ (количество известных вопросов) и $k=2$.

$M = C_{50}^2 = \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50!}{2! \cdot 48!} = \frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 1} = 49 \cdot 25 = 1225$

Итак, существует 1225 вариантов билетов, на оба вопроса которых студент сможет ответить.

3. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{1225}{1770}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 5:

$P = \frac{1225 \div 5}{1770 \div 5} = \frac{245}{354}$

Дробь является несократимой, так как числитель ($245 = 5 \cdot 7^2$) и знаменатель ($354 = 2 \cdot 3 \cdot 59$) не имеют общих простых множителей.

Метод 2: Использование условной вероятности

Можно рассматривать выбор вопросов как два последовательных зависимых события.

• Событие A: первый вытянутый вопрос студент знает.
• Событие B: второй вытянутый вопрос студент знает.

Вероятность того, что первый вытянутый вопрос будет из числа известных: $P(A) = \frac{50}{60}$.

После того как студент вытянул один известный вопрос, осталось 59 вопросов, из которых 49 — известные. Вероятность того, что и второй вопрос будет из числа известных (при условии, что первое событие произошло), равна: $P(B|A) = \frac{49}{59}$.

Итоговая вероятность (вероятность того, что произойдут оба события) равна произведению этих вероятностей:

$P = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{50}{60} \cdot \frac{49}{59} = \frac{5}{6} \cdot \frac{49}{59} = \frac{245}{354}$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Полученная дробь является правильной, поэтому целая часть равна 0 и не выделяется.

Какова вероятность того, что студент ответит на оба вопроса? Ответ: $\frac{245}{354}$