Номер 5, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.5. В урне 10 шаров, из которых 4 белых. Наудачу вынимают 3 шара.

Найдите вероятность того, что хотя бы один шар белый.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности и методом нахождения вероятности через противоположное событие. Этот метод особенно удобен, когда в условии присутствует фраза "хотя бы один".

Дано:
Всего шаров в урне: 10
Из них белых шаров: 4
Следовательно, не белых (другого цвета) шаров: $10 - 4 = 6$
Наудочу вынимают: 3 шара

Пусть событие $A$ заключается в том, что "хотя бы один из трех вынутых шаров белый".
Противоположным событием $\bar{A}$ будет событие "ни один из трех вынутых шаров не является белым", то есть все три вынутых шара - не белые.

Вероятность события $A$ можно найти по формуле: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

1. Найдем общее число исходов.
Общее число способов выбрать 3 шара из 10 имеющихся равно числу сочетаний из 10 по 3, так как порядок выбора шаров не важен.
$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$
Таким образом, существует 120 различных способов вынуть 3 шара из 10.

2. Найдем число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$.
Событие $\bar{A}$ означает, что все 3 вынутых шара - не белые. У нас есть 6 не белых шаров. Число способов выбрать 3 не белых шара из 6 равно числу сочетаний из 6 по 3.
$M = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$
Таким образом, существует 20 способов вынуть 3 не белых шара.

3. Найдем вероятность события $\bar{A}$.
Вероятность того, что все три вынутых шара не белые, равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
$P(\bar{A}) = \frac{M}{N} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$

4. Найдем вероятность события A.
Теперь найдем искомую вероятность того, что хотя бы один шар будет белым:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Найдите вероятность того, что хотя бы один шар белый. Ответ: $\frac{5}{6}$