Номер 3, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.3. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных. Из одной урны вынимают шар. Если событие $H_1$ — шар вынут из первой урны, событие $H_2$ — шар вынут из второй урны, событие $A$ — вынут белый шар, то $P(H_1/A)$ — это:

а) вероятность того, что шар вынут из первой урны;

б) вероятность того, что белый шар вынут из первой урны;

в) вероятность того, что выбрана первая урна;

г) вероятность вынуть белый шар из первой урны.

Выберите правильный ответ.

Для решения задачи и выбора правильного варианта ответа необходимо сначала понять смысл и рассчитать значение вероятности $P(H_1/A)$, используя формулу Байеса.

Расчет вероятности $P(H_1/A)$

1. Определение событий и их начальных вероятностей.

• $H_1$ — гипотеза о том, что шар вынут из первой урны.
• $H_2$ — гипотеза о том, что шар вынут из второй урны.
• $A$ — событие, состоящее в том, что вынутый шар — белый.

По условию, в первой урне 5 белых и 6 черных шаров (всего 11), во второй — 4 белых и 8 черных (всего 12). Выбор одной из двух урн является случайным, поэтому априорные (изначальные) вероятности гипотез равны:

$P(H_1) = \frac{1}{2}$

$P(H_2) = \frac{1}{2}$

2. Определение условных вероятностей.

Вероятность извлечь белый шар при условии выбора конкретной урны (эти вероятности также называют правдоподобием гипотез):

• Для первой урны: $P(A/H_1) = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$
• Для второй урны: $P(A/H_2) = \frac{4}{4+8} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

3. Расчет полной вероятности извлечения белого шара.

Чтобы применить формулу Байеса, нам нужна полная вероятность события $A$. Используем формулу полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2)$

$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{11} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{22} + \frac{1}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю 66:

$P(A) = \frac{15}{66} + \frac{11}{66} = \frac{26}{66} = \frac{13}{33}$

4. Расчет апостериорной вероятности $P(H_1/A)$.

Искомая вероятность $P(H_1/A)$ — это вероятность того, что шар был взят из первой урны, при условии, что он оказался белым. Применяем формулу Байеса:

$P(H_1/A) = \frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{11}}{\frac{13}{33}} = \frac{5/22}{13/33} = \frac{5}{22} \cdot \frac{33}{13} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 13} = \frac{15}{26}$

Анализ вариантов ответа

Выражение $P(H_1/A)$ формально означает "условная вероятность события $H_1$ при наступлении события $A$". Словесно это "вероятность того, что шар вынут из первой урны, при условии, что он белый". Сравним это точное определение с предложенными в задаче вариантами.

а) вероятность того, что шар вынут из первой урны; Ответ: Неполное, но наиболее корректное из предложенных описание. Эта фраза описывает гипотезу $H_1$, апостериорную (переоцененную после получения данных) вероятность которой мы нашли. В контексте вопроса "что такое $P(H_1/A)$?", этот вариант указывает на событие, вероятность которого вычисляется, и является правильным выбором среди предложенных.

б) вероятность того, что белый шар вынут из первой урны; Ответ: Неверно. Эта формулировка описывает совместное событие $A \cap H_1$ (вероятность того, что будет выбрана первая урна И из нее вынут белый шар). Его вероятность $P(A \cap H_1) = 5/22$, что не равно вычисленному значению $P(H_1/A)$.

в) вероятность того, что выбрана первая урна; Ответ: Неверно. Это синоним варианта (а). Однако, в задачах с выбором одного ответа, вариант (а) предпочтительнее, так как он дословно повторяет определение события $H_1$, данное в условии задачи.

г) вероятность вынуть белый шар из первой урны. Ответ: Неверно. Эта формулировка чаще всего интерпретируется как условная вероятность $P(A/H_1)$ (вероятность вынуть белый шар, ЕСЛИ выбрана первая урна). Её значение равно $5/11$, что не является искомой вероятностью.