Номер 8, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.8. Детали на сборку поступают из трех автоматов. Из первого автомата их поступило 1000, из второго — 2000, из третьего — 2500. Известно, что первый автомат дает 0,3 % бракованных деталей, второй — 0,2 %, третий — 0,4 %. Найдите вероятность:

а) попадания на сборку бракованной детали;

б) того, что бракованная деталь произведена первым автоматом;

в) того, что бракованная деталь произведена вторым автоматом.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $H_1$ – гипотеза, состоящая в том, что деталь произведена первым автоматом.
• $H_2$ – гипотеза, состоящая в том, что деталь произведена вторым автоматом.
• $H_3$ – гипотеза, состоящая в том, что деталь произведена третьим автоматом.
• $A$ – событие, состоящее в том, что случайно выбранная деталь является бракованной.

1. Найдем общее количество деталей.

Общее число деталей, поступивших на сборку, равно сумме деталей от каждого автомата:

$N = 1000 + 2000 + 2500 = 5500$ деталей.

2. Определим вероятности гипотез.

Вероятность того, что случайно взятая деталь произведена определенным автоматом, равна доле деталей этого автомата в общем количестве:

Вероятность, что деталь с первого автомата: $P(H_1) = \frac{1000}{5500} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$

Вероятность, что деталь со второго автомата: $P(H_2) = \frac{2000}{5500} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}$

Вероятность, что деталь с третьего автомата: $P(H_3) = \frac{2500}{5500} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11}$

Проверим, что сумма вероятностей гипотез равна 1: $P(H_1) + P(H_2) + P(H_3) = \frac{2}{11} + \frac{4}{11} + \frac{5}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

3. Определим условные вероятности.

Условная вероятность того, что деталь окажется бракованной, если она произведена определенным автоматом, дана в условии задачи (в виде процентов):

$P(A|H_1) = 0,3\% = 0.003$

$P(A|H_2) = 0,2\% = 0.002$

$P(A|H_3) = 0,4\% = 0.004$

а) попадания на сборку бракованной детали;

Вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной, находится по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим рассчитанные значения:

$P(A) = \frac{2}{11} \cdot 0.003 + \frac{4}{11} \cdot 0.002 + \frac{5}{11} \cdot 0.004$

$P(A) = \frac{1}{11} (2 \cdot 0.003 + 4 \cdot 0.002 + 5 \cdot 0.004) = \frac{1}{11} (0.006 + 0.008 + 0.020)$

$P(A) = \frac{0.034}{11} = \frac{34}{11000} = \frac{17}{5500}$

Также можно рассчитать через абсолютное количество бракованных деталей:

• Брак от 1-го автомата: $1000 \cdot 0.003 = 3$ детали.
• Брак от 2-го автомата: $2000 \cdot 0.002 = 4$ детали.
• Брак от 3-го автомата: $2500 \cdot 0.004 = 10$ деталей.

Всего бракованных деталей: $3 + 4 + 10 = 17$.

Вероятность взять бракованную деталь: $P(A) = \frac{\text{Всего бракованных}}{\text{Всего деталей}} = \frac{17}{5500}$.

Ответ: $\frac{17}{5500}$

б) того, что бракованная деталь произведена первым автоматом;

Требуется найти условную вероятность $P(H_1|A)$. Воспользуемся формулой Байеса:

$P(H_1|A) = \frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}$

Подставим ранее вычисленные значения:

$P(H_1|A) = \frac{\frac{2}{11} \cdot 0.003}{\frac{17}{5500}} = \frac{\frac{0.006}{11}}{\frac{17}{5500}} = \frac{0.006}{11} \cdot \frac{5500}{17} = \frac{0.006 \cdot 500}{17} = \frac{3}{17}$

Проверка через абсолютные количества: из 17 всех бракованных деталей 3 были произведены первым автоматом. Следовательно, искомая вероятность равна $\frac{3}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{17}$

в) того, что бракованная деталь произведена вторым автоматом.

Аналогично пункту б), найдем вероятность $P(H_2|A)$ по формуле Байеса:

$P(H_2|A) = \frac{P(H_2)P(A|H_2)}{P(A)}$

Подставим значения:

$P(H_2|A) = \frac{\frac{4}{11} \cdot 0.002}{\frac{17}{5500}} = \frac{\frac{0.008}{11}}{\frac{17}{5500}} = \frac{0.008}{11} \cdot \frac{5500}{17} = \frac{0.008 \cdot 500}{17} = \frac{4}{17}$

Проверка через абсолютные количества: из 17 всех бракованных деталей 4 были произведены вторым автоматом. Следовательно, искомая вероятность равна $\frac{4}{17}$.

Ответ: $\frac{4}{17}$