Номер 2, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.2. В круг радиуса 2 бросают случайную точку. С какой вероятностью расстояние от этой точки до центра круга будет:

а) меньше 1;

б) меньше $1/2$;

в) больше 1;

г) больше $1/2$?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади области, благоприятствующей событию, к общей площади, в которую может попасть точка.

Общая область — это круг радиуса $R = 2$. Его площадь $S_{общ}$ вычисляется по формуле площади круга $S = \pi R^2$.

$S_{общ} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) меньше 1;
Событие заключается в том, что расстояние от случайной точки до центра круга меньше 1. Это означает, что точка должна попасть в меньший круг, концентрический данному, с радиусом $r_a = 1$.
Площадь этого благоприятствующего круга $S_a$ равна:
$S_a = \pi \cdot r_a^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
Вероятность этого события $P(a)$ равна отношению площади малого круга к площади большого круга:
$P(a) = \frac{S_a}{S_{общ}} = \frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) меньше $\frac{1}{2}$;
Событие заключается в том, что расстояние от точки до центра меньше $\frac{1}{2}$. Точка должна попасть в круг с радиусом $r_b = \frac{1}{2}$.
Площадь этого благоприятствующего круга $S_b$ равна:
$S_b = \pi \cdot r_b^2 = \pi \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{4}$.
Вероятность этого события $P(b)$ равна:
$P(b) = \frac{S_b}{S_{общ}} = \frac{\frac{\pi}{4}}{4\pi} = \frac{\pi}{4 \cdot 4\pi} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

в) больше 1;
Событие заключается в том, что расстояние от точки до центра больше 1. Это означает, что точка должна попасть в область, которая является кольцом между окружностями радиусов $r_a = 1$ и $R = 2$.
Площадь этой благоприятствующей области $S_c$ можно найти как разность площадей большого и малого кругов:
$S_c = S_{общ} - S_a = 4\pi - \pi = 3\pi$.
Вероятность этого события $P(c)$ равна:
$P(c) = \frac{S_c}{S_{общ}} = \frac{3\pi}{4\pi} = \frac{3}{4}$.
Также это событие является противоположным событию из пункта "а", поэтому его вероятность можно было найти как $P(c) = 1 - P(a) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

г) больше $\frac{1}{2}$?
Событие заключается в том, что расстояние от точки до центра больше $\frac{1}{2}$. Точка должна попасть в кольцо между окружностями радиусов $r_b = \frac{1}{2}$ и $R = 2$.
Площадь этой благоприятствующей области $S_d$ равна разности площадей большого круга и круга с радиусом $\frac{1}{2}$ (площадь которого $S_b$ найдена в пункте "б"):
$S_d = S_{общ} - S_b = 4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = \frac{15\pi}{4}$.
Вероятность этого события $P(d)$ равна:
$P(d) = \frac{S_d}{S_{общ}} = \frac{\frac{15\pi}{4}}{4\pi} = \frac{15\pi}{4 \cdot 4\pi} = \frac{15}{16}$.
Аналогично, это событие, противоположное событию из пункта "б", поэтому $P(d) = 1 - P(b) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Ответ: $\frac{15}{16}$