Номер 5, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.5. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных. Из одной урны вынимают шар, он оказался белым. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны?

Для решения данной задачи используется формула Байеса для условной вероятности. Давайте введем обозначения для ключевых событий:

• $H_1$ — событие, при котором шар вынимают из первой урны.
• $H_2$ — событие, при котором шар вынимают из второй урны.
• $A$ — событие, при котором вынутый шар оказался белым.

Наша цель — найти вероятность того, что шар был вынут из первой урны, при условии, что он белый. Математически это записывается как $P(H_1|A)$.

Формула Байеса выглядит следующим образом:

$$P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}$$

Рассчитаем каждую из необходимых вероятностей:

1. Вероятности выбора урн (априорные вероятности).

   Поскольку в условии не указано иное, предполагаем, что выбор любой из двух урн равновероятен:

   $P(H_1) = \frac{1}{2}$

   $P(H_2) = \frac{1}{2}$

2. Условные вероятности извлечения белого шара.

   В первой урне находится 5 белых и 6 черных шаров, всего $5+6=11$ шаров. Вероятность извлечь белый шар, если была выбрана первая урна, равна:

   $P(A|H_1) = \frac{5}{11}$

   Во второй урне находится 4 белых и 8 черных шаров, всего $4+8=12$ шаров. Вероятность извлечь белый шар, если была выбрана вторая урна, равна:

   $P(A|H_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

3. Полная вероятность извлечения белого шара.

   Теперь найдем полную вероятность события $A$ (что будет вынут белый шар) по формуле полной вероятности:

   $P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

   $P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{11} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{22} + \frac{1}{6}$

   Приводим дроби к общему знаменателю (66):

   $P(A) = \frac{15}{66} + \frac{11}{66} = \frac{26}{66} = \frac{13}{33}$

4. Расчет искомой вероятности.

   Подставляем все найденные значения в формулу Байеса:

   $P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{11}}{\frac{13}{33}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{13}{33}}$

   Для деления дробей, умножаем на перевернутую вторую дробь:

   $P(H_1|A) = \frac{5}{22} \cdot \frac{33}{13} = \frac{5 \cdot 33}{22 \cdot 13}$

   Сокращаем 33 и 22 на 11:

   $P(H_1|A) = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 13} = \frac{15}{26}$

Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны? Ответ: $\frac{15}{26}$