Номер 10, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.10. Один из трех независимо работающих элементов устройства отказал. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 0,4, 0,3. Найдите вероятность того, что:

а) отказал первый элемент;

б) отказал второй элемент;

в) отказали первый и второй элементы.

Это задача на условную вероятность. Для ее решения воспользуемся формулой Байеса.
Введем обозначения:

• $F_1$ – событие, состоящее в том, что отказал первый элемент. $P(F_1) = 0,2$.
• $F_2$ – событие, состоящее в том, что отказал второй элемент. $P(F_2) = 0,4$.
• $F_3$ – событие, состоящее в том, что отказал третий элемент. $P(F_3) = 0,3$.

Вероятности того, что элементы будут работать исправно (события $\overline{F_1}, \overline{F_2}, \overline{F_3}$), равны:

• $P(\overline{F_1}) = 1 - P(F_1) = 1 - 0,2 = 0,8$.
• $P(\overline{F_2}) = 1 - P(F_2) = 1 - 0,4 = 0,6$.
• $P(\overline{F_3}) = 1 - P(F_3) = 1 - 0,3 = 0,7$.

Событие $A$, о котором говорится в условии ("Один из трех ... элементов ... отказал"), означает, что отказал ровно один элемент. Это событие может произойти в результате одной из трех несовместных гипотез:

• $H_1$ – отказал только первый элемент, а второй и третий работали.
• $H_2$ – отказал только второй элемент, а первый и третий работали.
• $H_3$ – отказал только третий элемент, а первый и второй работали.

Так как элементы работают независимо, вероятности этих гипотез равны:

$P(H_1) = P(F_1) \cdot P(\overline{F_2}) \cdot P(\overline{F_3}) = 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,7 = 0,084$.

$P(H_2) = P(\overline{F_1}) \cdot P(F_2) \cdot P(\overline{F_3}) = 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,224$.

$P(H_3) = P(\overline{F_1}) \cdot P(\overline{F_2}) \cdot P(F_3) = 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,3 = 0,144$.

Полная вероятность события $A$ (отказал ровно один элемент) находится по формуле полной вероятности как сумма вероятностей этих гипотез:

$P(A) = P(H_1) + P(H_2) + P(H_3) = 0,084 + 0,224 + 0,144 = 0,452$.

Теперь мы можем найти условные вероятности, о которых спрашивается в задаче.

а) отказал первый элемент;
Требуется найти вероятность того, что произошла гипотеза $H_1$ (отказал только первый) при условии, что событие $A$ (отказал ровно один) уже произошло. Используем формулу Байеса:
$P(H_1|A) = \frac{P(H_1)}{P(A)} = \frac{0,084}{0,452} = \frac{84}{452} = \frac{21}{113}$.
Ответ: $\frac{21}{113}$

б) отказал второй элемент;
Требуется найти вероятность того, что произошла гипотеза $H_2$ (отказал только второй) при условии, что событие $A$ (отказал ровно один) уже произошло.
$P(H_2|A) = \frac{P(H_2)}{P(A)} = \frac{0,224}{0,452} = \frac{224}{452} = \frac{56}{113}$.
Ответ: $\frac{56}{113}$

в) отказали первый и второй элементы.
Требуется найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, при условии, что отказал ровно один элемент (событие $A$).
Событие "отказали первый и второй элементы" и событие "отказал ровно один элемент" являются несовместными, то есть они не могут произойти одновременно. Вероятность наступления невозможного события равна нулю.
Формально, пусть $C$ - событие "отказали первый и второй элементы". Тогда $C \cap A = \emptyset$.
$P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)} = \frac{0}{0,452} = 0$.
Ответ: $0$