Номер 9, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.9. В ящике 10 деталей, 6 из которых окрашены. Извлекают 4 детали по одной. Найдите вероятность того, что:

a) все они окажутся окрашенными;

б) хотя бы одна деталь будет окрашенной;

Для решения задачи воспользуемся методами комбинаторики и классическим определением вероятности. Сначала определим общее число возможных исходов.

Общее число способов извлечь 4 детали из 10 имеющихся равно числу сочетаний из 10 по 4:

$N = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Это общее число всех равновероятных исходов.

Найдем число исходов, благоприятствующих этому событию. Нам нужно, чтобы все 4 извлеченные детали были из 6 окрашенных. Число способов выбрать 4 окрашенные детали из 6 равно:

$M_a = C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Вероятность того, что все 4 детали окажутся окрашенными, равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$.

Для нахождения вероятности этого события (назовем его B) удобнее сначала найти вероятность противоположного события B' — ни одна из извлеченных деталей не окрашена (то есть все 4 детали не окрашены).

Число не окрашенных деталей в ящике: $10 - 6 = 4$.

Число способов извлечь 4 не окрашенные детали из 4 имеющихся не окрашенных равно:

$M_{b'} = C_4^4 = 1$.

Вероятность того, что все 4 извлеченные детали не окрашены, равна:

$P(B') = \frac{M_{b'}}{N} = \frac{1}{210}$.

События B и B' являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Отсюда находим искомую вероятность:

$P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{1}{210} = \frac{210}{210} - \frac{1}{210} = \frac{209}{210}$.

Ответ: $\frac{209}{210}$.