Номер 9, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.9. В ящике 12 шаров с номерами от 1 до 12. Вынули один шар.

Какова вероятность того, что этот шар имеет номер:

а) не превосходящий 8;

б) взаимно простой с 4;

в) сумма которого с числом 4 не превосходит 10?

По условию задачи в ящике находится 12 шаров с номерами от 1 до 12. Это означает, что общее число равновероятных исходов при извлечении одного шара равно $n=12$. Вероятность события A вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

а) не превосходящий 8;
Найдем вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 8, то есть он меньше или равен 8 ($ \le 8 $). Благоприятными исходами являются шары с номерами: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Число благоприятных исходов $m = 8$. Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{8}{12}$ Сократив дробь, получаем: $P = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

б) взаимно простой с 4;
Найдем вероятность того, что номер шара является взаимно простым с числом 4. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Число является взаимно простым с 4, если оно не делится на 2, то есть является нечетным. Благоприятными исходами являются шары с нечетными номерами: {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Число благоприятных исходов $m = 6$. Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{6}{12}$ Сократив дробь, получаем: $P = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) сумма которого с числом 4 не превосходит 10?
Найдем вероятность того, что сумма номера шара (обозначим его как $x$) и числа 4 не превосходит 10. Это условие можно записать в виде неравенства: $x + 4 \le 10$ Решив неравенство, получаем: $x \le 10 - 4$ $x \le 6$ Благоприятными исходами являются шары с номерами, которые меньше или равны 6: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Число благоприятных исходов $m = 6$. Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{6}{12}$ Сократив дробь, получаем: $P = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$