Номер 3.237, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.237*. Решите неравенство, используя переход к равносильным системам неравенств:

a) $ \log_2\log_{0,5}\frac{3x+4}{4x-8} \le 0 $;

б) $ \log_{0,2}\log_2\log_{0,5} (2x-3) \ge 0 $.

а)

Исходное неравенство: $\log_2 \log_{0,5} \frac{3x+4}{4x-8} \le 0$.

Данное неравенство равносильно системе, которая учитывает область определения логарифмов и свойство логарифмической функции с основанием $a > 1$.

Так как основание внешнего логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастающая. Неравенство $\log_2 f(x) \le 0$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) \le 2^0 \end{cases} $$

В нашем случае $f(x) = \log_{0,5} \frac{3x+4}{4x-8}$. Получаем систему:

$$ \begin{cases} \log_{0,5} \frac{3x+4}{4x-8} > 0 \\ \log_{0,5} \frac{3x+4}{4x-8} \le 1 \end{cases} $$

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства:

$$ 0 < \log_{0,5} \frac{3x+4}{4x-8} \le 1 $$

Теперь рассмотрим логарифм с основанием $0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, функция $y = \log_{0,5} t$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:

$$ (0,5)^1 \le \frac{3x+4}{4x-8} < (0,5)^0 $$ $$ \frac{1}{2} \le \frac{3x+4}{4x-8} < 1 $$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x+4}{4x-8} \ge \frac{1}{2} \\ \frac{3x+4}{4x-8} < 1 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{3x+4}{4x-8} - \frac{1}{2} \ge 0 $$ $$ \frac{2(3x+4) - 1(4x-8)}{2(4x-8)} \ge 0 $$ $$ \frac{6x+8 - 4x+8}{8(x-2)} \ge 0 $$ $$ \frac{2x+16}{8(x-2)} \ge 0 $$ $$ \frac{x+8}{x-2} \ge 0 $$

Решая это неравенство методом интервалов, находим нули числителя ($x=-8$) и знаменателя ($x=2$). На числовой прямой получаем интервалы, на которых выражение сохраняет знак. Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -8] \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$$ \frac{3x+4}{4x-8} - 1 < 0 $$ $$ \frac{3x+4 - (4x-8)}{4x-8} < 0 $$ $$ \frac{-x+12}{4(x-2)} < 0 $$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$$ \frac{x-12}{4(x-2)} > 0 $$ $$ \frac{x-12}{x-2} > 0 $$

Решая это неравенство методом интервалов (нули: $x=12$ и $x=2$), получаем решение: $x \in (-\infty, 2) \cup (12, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$$ ((-\infty, -8] \cup (2, \infty)) \cap ((-\infty, 2) \cup (12, \infty)) $$

Пересечение множества $(-\infty, -8] \cup (2, \infty)$ с множеством $(-\infty, 2) \cup (12, \infty)$ дает нам итоговое решение.

$(-\infty, -8] \cap ((-\infty, 2) \cup (12, \infty)) = (-\infty, -8]$

$(2, \infty) \cap ((-\infty, 2) \cup (12, \infty)) = (12, \infty)$

Объединяя результаты, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup (12, \infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\log_{0,2} \log_2 \log_{0,5} (2x-3) \ge 0$.

Так как основание внешнего логарифма $0,2 < 1$, функция $y = \log_{0,2} t$ убывающая. Неравенство $\log_{0,2} f(x) \ge 0$ равносильно системе (знак неравенства меняется на противоположный):

$$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) \le (0,2)^0 \end{cases} $$

В нашем случае $f(x) = \log_2 \log_{0,5} (2x-3)$. Получаем систему:

$$ \begin{cases} \log_2 \log_{0,5} (2x-3) > 0 \\ \log_2 \log_{0,5} (2x-3) \le 1 \end{cases} $$

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства:

$$ 0 < \log_2 \log_{0,5} (2x-3) \le 1 $$

Теперь рассмотрим логарифм с основанием $2$. Так как $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастающая, и знаки неравенства сохраняются при переходе к аргументам:

$$ 2^0 < \log_{0,5} (2x-3) \le 2^1 $$ $$ 1 < \log_{0,5} (2x-3) \le 2 $$

Далее, рассмотрим логарифм с основанием $0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, функция $y = \log_{0,5} t$ убывающая, и знаки неравенства меняются на противоположные:

$$ (0,5)^2 \le 2x-3 < (0,5)^1 $$ $$ \frac{1}{4} \le 2x-3 < \frac{1}{2} $$

Теперь решим это двойное линейное неравенство относительно $x$. Для этого прибавим 3 ко всем трем частям неравенства:

$$ \frac{1}{4} + 3 \le 2x < \frac{1}{2} + 3 $$ $$ \frac{1}{4} + \frac{12}{4} \le 2x < \frac{1}{2} + \frac{6}{2} $$ $$ \frac{13}{4} \le 2x < \frac{7}{2} $$

Разделим все части неравенства на 2:

$$ \frac{13}{8} \le x < \frac{7}{4} $$

Полученный интервал удовлетворяет всем областям определения вложенных логарифмов, так как мы последовательно обеспечивали положительность их аргументов.

Ответ: $x \in [\frac{13}{8}, \frac{7}{4})$.