Номер 3.242, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.242*. Найдите число целых решений неравенства $log_{x+3} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right) > 0$.

3.242*.

Для решения логарифмического неравенства $\log_{x+3}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right) > 0$ необходимо сначала найти его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице:
$x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x+3 \ne 1 \Rightarrow x \ne -2$

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\frac{1+x^2}{1-x^2} > 0$
Так как числитель $1+x^2$ всегда положителен при любом действительном $x$, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы знаменатель также был положителен:
$1-x^2 > 0$
$x^2 < 1$
$-1 < x < 1$

Объединяя все условия, находим ОДЗ. Мы должны найти пересечение множеств $x > -3$, $x \ne -2$ и $-1 < x < 1$.
Пересечением является интервал $(-1, 1)$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-1, 1)$.

Теперь решаем исходное неравенство. Перепишем его, представив 0 как логарифм с тем же основанием:
$\log_{x+3}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right) > \log_{x+3}(1)$

Для решения этого неравенства необходимо сравнить основание $x+3$ с единицей. В нашей ОДЗ $x \in (-1, 1)$.
Если $-1 < x < 1$, то, прибавив 3 ко всем частям неравенства, получим $-1+3 < x+3 < 1+3$, что дает $2 < x+3 < 4$.
Поскольку основание $x+3$ всегда больше 1 на всей области допустимых значений, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$\frac{1+x^2}{1-x^2} > 1$

Решим полученное рациональное неравенство:
$\frac{1+x^2}{1-x^2} - 1 > 0$
$\frac{1+x^2 - (1-x^2)}{1-x^2} > 0$
$\frac{1+x^2 - 1+x^2}{1-x^2} > 0$
$\frac{2x^2}{1-x^2} > 0$

Как мы уже установили, в ОДЗ $x \in (-1, 1)$ знаменатель $1-x^2$ всегда положителен. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $1-x^2$, не меняя знака. Неравенство сводится к:
$2x^2 > 0$
$x^2 > 0$
Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Теперь найдем окончательное решение, объединив полученный результат $x \ne 0$ с ОДЗ $x \in (-1, 1)$.
Решением неравенства является множество $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

В задаче требуется найти число целых решений. В полученном множестве решений $(-1, 0) \cup (0, 1)$ нет ни одного целого числа.

Ответ: 0.