Номер 3.239, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.239*: Найдите наименьшее целое решение неравенства

$\log_{0.5} (x^2 - 3x + 4) - \log_{0.5} (x - 1) < \log_{0.5} 2.$

Для решения неравенства $ \log_{0,5}(x^2 - 3x + 4) - \log_{0,5}(x - 1) < \log_{0,5} 2 $ выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргументы логарифмических функций должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 4 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство $ x^2 - 3x + 4 > 0 $. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 $. Так как дискриминант $ D < 0 $ и коэффициент при $ x^2 $ положителен ($ a=1 > 0 $), парабола $ y=x^2 - 3x + 4 $ целиком расположена выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $ x^2 - 3x + 4 > 0 $ выполняется для любого действительного числа $ x $.

Решим второе неравенство $ x - 1 > 0 $, откуда получаем $ x > 1 $.

Таким образом, ОДЗ для исходного неравенства: $ x \in (1; +\infty) $.

2. Преобразование и решение неравенства

Используя свойство разности логарифмов $ \log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N} $, преобразуем левую часть неравенства:

$$ \log_{0,5} \left( \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1} \right) < \log_{0,5} 2 $$

Основание логарифма $ 0,5 $ находится в интервале $ (0; 1) $, поэтому логарифмическая функция $ y = \log_{0,5} t $ является убывающей. При переходе от логарифмического неравенства к неравенству для их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$$ \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1} > 2 $$

Перенесем 2 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$$ \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1} - 2 > 0 $$

$$ \frac{x^2 - 3x + 4 - 2(x - 1)}{x - 1} > 0 $$

$$ \frac{x^2 - 3x + 4 - 2x + 2}{x - 1} > 0 $$

$$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} > 0 $$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $ x^2 - 5x + 6 = 0 $: по теореме Виета $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $.

Корень знаменателя $ x - 1 = 0 $: $ x = 1 $.

Нанесем точки $ 1, 2, 3 $ на числовую ось и определим знаки выражения $ \frac{(x-2)(x-3)}{x-1} $ на полученных интервалах.

• При $ x > 3 $, выражение положительно.
• При $ 2 < x < 3 $, выражение отрицательно.
• При $ 1 < x < 2 $, выражение положительно.
• При $ x < 1 $, выражение отрицательно.

Так как неравенство строгое ($ > 0 $), нас интересуют интервалы, где выражение положительно:

$$ x \in (1; 2) \cup (3; +\infty) $$

3. Поиск наименьшего целого решения

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($ x > 1 $):

$$ ((1; 2) \cup (3; +\infty)) \cap (1; +\infty) = (1; 2) \cup (3; +\infty) $$

Решением неравенства является объединение интервалов $ (1; 2) $ и $ (3; +\infty) $.

Задача требует найти наименьшее целое решение.

• Интервал $ (1; 2) $ не содержит целых чисел.
• Наименьшее целое число, входящее в интервал $ (3; +\infty) $, — это число 4.

Следовательно, наименьшее целое решение неравенства равно 4.

Ответ: 4