Номер 3.240, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.240*. Решите неравенство $\log_{1g7} (x^2 + 3x) < \log_{1g7} (5x + 1)$, используя свойства логарифмической функции.

Для решения неравенства $\log_{\lg 7}(x^2 + 3x) < \log_{\lg 7}(5x + 1)$ необходимо использовать свойства логарифмической функции.

1. Сначала определим свойства основания логарифма $a = \lg 7$. Десятичный логарифм $\lg$ является возрастающей функцией. Так как $1 < 7 < 10$, то $\lg 1 < \lg 7 < \lg 10$. Поскольку $\lg 1 = 0$ и $\lg 10 = 1$, мы получаем, что $0 < \lg 7 < 1$.

2. Логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ при основании $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что для любых положительных $t_1$ и $t_2$ неравенство $\log_a(t_1) < \log_a(t_2)$ равносильно неравенству $t_1 > t_2$.

3. Кроме того, аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это условие задает область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решение первого неравенства:

$x^2 + 3x > 5x + 1$

$x^2 - 2x - 1 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 1 > 0$ выполняется при $x$ за пределами корней. То есть, $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Решение второго неравенства (ОДЗ):

$x^2 + 3x > 0$

$x(x + 3) > 0$

Корни уравнения $x(x+3)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$.

Решение третьего неравенства (ОДЗ):

$5x + 1 > 0$

$5x > -1$

$x > -\frac{1}{5}$

То есть, $x \in (-1/5, +\infty)$.

Поиск общего решения:

Теперь найдем пересечение всех трех полученных решений:

1. $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, +\infty)$

2. $x \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$

3. $x \in (-1/5, +\infty)$

Сначала найдем пересечение множеств ОДЗ (решения 2 и 3):

$(-\infty, -3) \cup (0, +\infty) \cap (-1/5, +\infty) = (0, +\infty)$

Теперь найдем пересечение полученного интервала $(0, +\infty)$ с решением первого неравенства:

$\left((-\infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, +\infty)\right) \cap (0, +\infty)$

Оценим значения корней: $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$. Это значение меньше нуля.

$1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$. Это значение больше нуля.

Интервал $(-\infty, 1 - \sqrt{2})$ не пересекается с интервалом $(0, +\infty)$.

Интервал $(1 + \sqrt{2}, +\infty)$ полностью входит в интервал $(0, +\infty)$.

Следовательно, итоговым решением системы является интервал $(1 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1 + \sqrt{2}, +\infty)$