Номер 1052, страница 289 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1052. В 1919 году Э. Резерфорд обнаружил, что при прохождении $\alpha$-частиц через газообразный азот образуется некоторая частица и ядро атома водорода, которое впоследствии стали называть протоном. В этом опыте впервые была проведена искусственная ядерная реакция, а так же было доказано, что в состав атомных ядер входят протоны. На фотографии (рис. 230, а) представлены треки $\alpha$-частиц в камере Вильсона (их много, они движутся снизу вверх), протона (длинный трек, идущий вправо) и некоторой частицы (короткий трек). Трек азота отсутствует. Определите:

а) какая частица образовалась в этой реакции;

б) отношение модулей импульсов образовавшейся частицы и протона, проведя необходимые измерения по рисунку 230, б;

в) *отношение модуля импульса $\alpha$-частицы и протона.

а

б

Рис. 230

Дано:

Реакция взаимодействия $\alpha$-частицы ($_{2}^{4}\textrm{He}$) с покоящимся ядром азота ($_{7}^{14}\textrm{N}$), в результате которой образуется протон ($_{1}^{1}\textrm{H}$) и новое ядро X.

Изображение треков частиц в камере Вильсона (рис. 230, б), по которому можно провести измерения.

Найти:

а) какая частица X образовалась в этой реакции;

б) отношение модулей импульсов образовавшейся частицы и протона, $p_X/p_p$;

в)* отношение модуля импульса $\alpha$-частицы и протона, $p_\alpha/p_p$.

Решение:

а) Запишем уравнение ядерной реакции. Пусть неизвестная частица X имеет массовое число A и зарядовое число Z:

$_{7}^{14}\textrm{N} + _{2}^{4}\textrm{He} \rightarrow _{Z}^{A}\textrm{X} + _{1}^{1}\textrm{H}$

Согласно законам сохранения массового числа и заряда:

1. Сохранение массового числа (числа нуклонов): $14 + 4 = A + 1$, откуда $A = 17$.

2. Сохранение заряда (числа протонов): $7 + 2 = Z + 1$, откуда $Z = 8$.

Элемент с зарядовым числом $Z = 8$ — это кислород (O). Таким образом, образовавшаяся частица — это ядро изотопа кислорода-17 ($_{8}^{17}\textrm{O}$).

Полное уравнение реакции: $_{7}^{14}\textrm{N} + _{2}^{4}\textrm{He} \rightarrow _{8}^{17}\textrm{O} + _{1}^{1}\textrm{H}$.

Ответ: В реакции образовалось ядро изотопа кислорода-17 ($_{8}^{17}\textrm{O}$).

б) Поскольку ядро азота до столкновения покоилось, закон сохранения импульса для данной реакции имеет вид:

$\vec{p}_\alpha = \vec{p}_O + \vec{p}_p$,

где $\vec{p}_\alpha$ — импульс налетающей $\alpha$-частицы, $\vec{p}_O$ — импульс ядра кислорода, $\vec{p}_p$ — импульс протона.

Введем систему координат. Ось OY направим вдоль трека $\alpha$-частицы (снизу вверх), а ось OX — перпендикулярно ей в плоскости рисунка. Тогда проекция закона сохранения импульса на ось OX будет:

$0 = p_{p_x} + p_{O_x}$

Пусть $\theta_p$ — угол между направлениями импульсов протона и $\alpha$-частицы, а $\theta_O$ — угол между направлениями импульсов ядра кислорода и $\alpha$-частицы. Из проекции на ось OX следует, что поперечные составляющие импульсов протона и ядра кислорода равны по модулю и противоположны по направлению:

$p_p \sin\theta_p = p_O \sin\theta_O$.

Отсюда находим искомое отношение модулей импульсов:

$\frac{p_O}{p_p} = \frac{\sin\theta_p}{\sin\theta_O}$.

Определим углы по рисунку 230, б, используя наложенную сетку. Примем точку расщепления трека за начало координат. Трек протона (вправо) проходит через точку с примерными координатами $(4, 3)$ (4 клетки вправо, 3 клетки вверх). Трек ядра кислорода (влево) проходит через точку с примерными координатами $(-1, 4)$ (1 клетка влево, 4 клетки вверх).

Найдем тангенсы углов отклонения:

$\tan\theta_p = \frac{\Delta x_p}{\Delta y_p} = \frac{4}{3}$

$\tan\theta_O = \frac{|\Delta x_O|}{\Delta y_O} = \frac{1}{4}$

Зная тангенсы, найдем синусы. Если $\tan\theta_p = 4/3$, то гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3 равна $\sqrt{4^2+3^2}=5$. Тогда $\sin\theta_p = 4/5$.Если $\tan\theta_O = 1/4$, то гипотенуза равна $\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$. Тогда $\sin\theta_O = 1/\sqrt{17}$.

Подставим значения синусов в формулу для отношения импульсов:

$\frac{p_O}{p_p} = \frac{4/5}{1/\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{5} \approx \frac{4 \cdot 4.123}{5} \approx 3.3$.

Ответ: Отношение модулей импульсов образовавшейся частицы (ядра кислорода-17) и протона равно $\frac{p_O}{p_p} = \frac{4\sqrt{17}}{5} \approx 3.3$.

в)* Для нахождения отношения модуля импульса $\alpha$-частицы и протона воспользуемся проекцией закона сохранения импульса на ось OY:

$p_\alpha = p_{p_y} + p_{O_y} = p_p \cos\theta_p + p_O \cos\theta_O$.

Разделим обе части уравнения на $p_p$:

$\frac{p_\alpha}{p_p} = \cos\theta_p + \frac{p_O}{p_p} \cos\theta_O$.

Из пункта (б) мы знаем, что $\frac{p_O}{p_p} = \frac{4\sqrt{17}}{5}$. Найдем косинусы углов.

Если $\tan\theta_p = 4/3$, то $\cos\theta_p = 3/5$.

Если $\tan\theta_O = 1/4$, то $\cos\theta_O = 4/\sqrt{17}$.

Подставим все известные значения в выражение для отношения импульсов:

$\frac{p_\alpha}{p_p} = \frac{3}{5} + \left(\frac{4\sqrt{17}}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{\sqrt{17}}\right) = \frac{3}{5} + \frac{16}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$.

Ответ: Отношение модуля импульса $\alpha$-частицы и протона равно $\frac{p_\alpha}{p_p} = 3.8$.