Номер 1049, страница 288 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1049. При взаимодействии $\gamma$-кванта с неподвижным ядром дейтерия произошла реакция: $_1^2\text{H} + \gamma \to _1^1\text{H} + _0^1n$. Считая импульс $\gamma$-кванта малым, определите минимальную энергию $\gamma$-кванта.

Дано:

Ядерная реакция: $^2_1H + \gamma \rightarrow ^1_1H + ^1_0n$

Начальная скорость ядра дейтерия: $v_d = 0$

Масса атома дейтерия: $m_d = 2.014102 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода (протия): $m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

$E_{\gamma, min}$ – минимальная энергия γ-кванта.

Решение:

Для нахождения минимальной энергии γ-кванта, необходимой для осуществления реакции фоторасщепления дейтрона, воспользуемся законом сохранения энергии. В общем виде он выглядит так:

$E_{до} = E_{после}$

Энергия системы до реакции складывается из энергии γ-кванта ($E_\gamma$) и энергии покоя неподвижного ядра дейтерия ($m_d c^2$):

$E_{до} = E_\gamma + m_d c^2$

Энергия системы после реакции складывается из энергий покоя образовавшихся протона ($m_H c^2$) и нейтрона ($m_n c^2$), а также их суммарной кинетической энергии ($K_H + K_n$):

$E_{после} = m_H c^2 + m_n c^2 + K_H + K_n$

Приравнивая энергии, получаем:

$E_\gamma + m_d c^2 = m_H c^2 + m_n c^2 + K_H + K_n$

Выразим энергию γ-кванта:

$E_\gamma = (m_H + m_n - m_d)c^2 + (K_H + K_n)$

Величина $\Delta E = (m_H + m_n - m_d)c^2$ представляет собой энергию связи ядра дейтерия, то есть энергию, которую нужно затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны. Минимальная энергия γ-кванта ($E_{\gamma, min}$) соответствует пороговой энергии реакции, при которой кинетическая энергия продуктов реакции минимальна.

Согласно закону сохранения импульса $\vec{p}_\gamma = \vec{p}_H + \vec{p}_n$, кинетическая энергия продуктов реакции не может быть равна нулю, так как они должны унести с собой импульс поглощенного фотона. Однако, в условии задачи указано, что импульс γ-кванта можно считать малым. Это является указанием на то, что кинетической энергией продуктов реакции $(K_H + K_n)$ можно пренебречь по сравнению с энергией связи ядра. В этом приближении минимальная энергия γ-кванта равна энергии связи дейтерия.

$E_{\gamma, min} \approx \Delta E = (m_H + m_n - m_d)c^2$

Рассчитаем дефект масс $\Delta m$ (при расчетах можно использовать массы атомов, так как масса электрона в левой и правой частях уравнения сокращается):

$\Delta m = m_H + m_n - m_d = 1.007825 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.} - 2.014102 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = 2.016490 \text{ а.е.м.} - 2.014102 \text{ а.е.м.} = 0.002388 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем минимальную энергию γ-кванта, переведя дефект масс в энергию:

$E_{\gamma, min} = \Delta m \cdot c^2 = 0.002388 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 2.224 \text{ МэВ}$

Ответ: $E_{\gamma, min} \approx 2.224 \text{ МэВ}$.