Номер 1048, страница 288 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1048. При аннигиляции электрона и позитрона обычно возникают два фотона: $ _{ -1 }^{ 0 } e + _{ 1 }^{ 0 } e \to 2 \gamma $. Определите длину волны излученных фотонов, пренебрегая кинетической энергией частиц до реакции.

Дано:

Реакция аннигиляции: $_{-1}^{0}e + _{+1}^{0}e \rightarrow 2\gamma$

Масса покоя электрона (и позитрона) $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка $h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Кинетической энергией частиц до реакции пренебречь ($E_k \approx 0$).

Найти:

Длину волны излученных фотонов $\lambda$.

Решение:

Аннигиляция — это процесс, при котором частица и её античастица (в данном случае электрон и позитрон) сталкиваются и их масса полностью преобразуется в энергию в виде фотонов (гамма-квантов).

Запишем закон сохранения энергии для этого процесса. Энергия системы до реакции равна сумме энергий покоя электрона и позитрона, так как их кинетической энергией по условию можно пренебречь. Энергия покоя каждой частицы вычисляется по формуле Эйнштейна $E_0 = mc^2$.

Энергия до реакции:

$E_{до} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

Энергия системы после реакции — это суммарная энергия двух образовавшихся фотонов:

$E_{после} = E_{\gamma1} + E_{\gamma2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{до} = E_{после}$:

$2m_e c^2 = E_{\gamma1} + E_{\gamma2}$

Теперь применим закон сохранения импульса. Так как до реакции электрон и позитрон покоились (их суммарная скорость была равна нулю), начальный импульс системы равен нулю: $\vec{p}_{до} = \vec{0}$.

Следовательно, суммарный импульс двух фотонов после реакции также должен быть равен нулю:

$\vec{p}_{после} = \vec{p}_{\gamma1} + \vec{p}_{\gamma2} = \vec{0}$

Это означает, что фотоны разлетаются в противоположных направлениях, а их импульсы равны по модулю: $|\vec{p}_{\gamma1}| = |\vec{p}_{\gamma2}|$.

Энергия фотона $E_{\gamma}$ связана с его импульсом $p_{\gamma}$ соотношением $E_{\gamma} = p_{\gamma}c$. Из равенства модулей импульсов следует, что энергии фотонов также равны: $E_{\gamma1} = E_{\gamma2} = E_{\gamma}$.

Подставим это в уравнение закона сохранения энергии:

$2m_e c^2 = E_{\gamma} + E_{\gamma} = 2E_{\gamma}$

Отсюда находим энергию одного фотона:

$E_{\gamma} = m_e c^2$

Энергия фотона также связана с его длиной волны $\lambda$ через формулу Планка:

$E_{\gamma} = \frac{hc}{\lambda}$

Приравнивая два выражения для энергии фотона, получаем:

$m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda}$

Выражаем искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Подставим числовые значения констант:

$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 2.424 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$\lambda \approx 2.42 \cdot 10^{-12} \text{ м} = 2.42 \text{ пм}$

Ответ: $\lambda \approx 2.42 \cdot 10^{-12}$ м.