Номер 1041, страница 287 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1041. На атомной электростанции мощностью $P = 500$ МВт в качестве горючего используется уран $_{92}^{235}U$, при делении одного ядра которого выделяется энергия $E_1 = 200$ МэВ. Определите массу урана, использованного на АЭС за год, и сравните ее с массой каменного угля, сжигаемого на тепловой электростанции такой же мощности. Коэффициент полезного действия АЭС $\eta_1 = 33$ %, ТЭС $\eta_2 = 40$ %. Удельная теплота сгорания каменного угля $q=20,5 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Мощность электростанции, $P = 500 \text{ МВт} = 5 \cdot 10^8 \text{ Вт}$

Энергия, выделяющаяся при делении одного ядра урана, $E_1 = 200 \text{ МэВ} = 200 \cdot 10^6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 3.2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Время работы, $t = 1 \text{ год} = 365.25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3.156 \cdot 10^7 \text{ с}$

КПД АЭС, $\eta_1 = 33 \% = 0.33$

КПД ТЭС, $\eta_2 = 40 \% = 0.40$

Удельная теплота сгорания каменного угля, $q = 20.5 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} = 2.05 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Молярная масса урана-235, $M_U = 235 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0.235 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Число Авогадро, $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$m_U$ — массу урана;

$\frac{m_C}{m_U}$ — отношение массы угля к массе урана.

Решение:

1. Определение массы урана, использованного на АЭС за год

Полезная электрическая энергия, которую станция вырабатывает за год, равна:

$W_{полезн} = P \cdot t$

$W_{полезн} = (5 \cdot 10^8 \text{ Вт}) \cdot (3.156 \cdot 10^7 \text{ с}) = 1.578 \cdot 10^{16} \text{ Дж}$

Полная тепловая энергия, которая должна выделиться в ядерном реакторе, определяется с учетом КПД АЭС:

$\eta_1 = \frac{W_{полезн}}{W_{полн, U}}$

Отсюда полная энергия:

$W_{полн, U} = \frac{W_{полезн}}{\eta_1} = \frac{1.578 \cdot 10^{16} \text{ Дж}}{0.33} \approx 4.782 \cdot 10^{16} \text{ Дж}$

Эта энергия выделяется при делении $N_U$ ядер урана. Зная энергию деления одного ядра $E_1$, найдем необходимое количество ядер:

$N_U = \frac{W_{полн, U}}{E_1} = \frac{4.782 \cdot 10^{16} \text{ Дж}}{3.2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}} \approx 1.494 \cdot 10^{27}$

Массу урана можно найти через число ядер, молярную массу $M_U$ и число Авогадро $N_A$:

$m_U = \frac{N_U}{N_A} \cdot M_U$

$m_U = \frac{1.494 \cdot 10^{27}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \cdot 0.235 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \approx 583.5 \text{ кг}$

2. Определение массы каменного угля и сравнение масс

Для ТЭС с такой же полезной мощностью полезная энергия за год будет такой же: $W_{полезн} = 1.578 \cdot 10^{16} \text{ Дж}$.

Полная тепловая энергия, выделяемая при сжигании угля, с учетом КПД ТЭС:

$W_{полн, C} = \frac{W_{полезн}}{\eta_2} = \frac{1.578 \cdot 10^{16} \text{ Дж}}{0.40} = 3.945 \cdot 10^{16} \text{ Дж}$

Энергия сгорания топлива связана с его массой $m_C$ и удельной теплотой сгорания $q$:

$W_{полн, C} = q \cdot m_C$

Найдем массу угля:

$m_C = \frac{W_{полн, C}}{q} = \frac{3.945 \cdot 10^{16} \text{ Дж}}{2.05 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}} \approx 1.924 \cdot 10^9 \text{ кг}$

Сравним массы, найдя их отношение:

$\frac{m_C}{m_U} = \frac{1.924 \cdot 10^9 \text{ кг}}{583.5 \text{ кг}} \approx 3.3 \cdot 10^6$

Таким образом, для выработки того же количества электроэнергии на ТЭС требуется в 3.3 миллиона раз больше топлива по массе, чем на АЭС.

Ответ: масса урана, использованного на АЭС за год, составляет $m_U \approx 584$ кг. Масса каменного угля для ТЭС той же мощности составляет $m_C \approx 1.92 \cdot 10^9$ кг. Масса угля больше массы урана примерно в 3.3 миллиона раз.