Номер 1040, страница 287 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1040. В результате взаимодействия ядра дейтерия с покоящимся ядром трития образуется ядро гелия $_2^4$He и нейтрон, вылетающий под углом $\alpha = 90^\circ$ к направлению движения ядра дейтерия. Кинетическая энергия нейтрона $(E_\text{к})_{_0^1n} = 20$ МэВ. Определите кинетическую энергию ядра дейтерия, если энергетический выход ядерной реакции $Q = 15$ МэВ.

Дано:

Ядерная реакция: $_{1}^{2}D + _{1}^{3}T \rightarrow _{2}^{4}He + _{0}^{1}n$

Начальная скорость ядра трития: $v_T = 0$

Угол вылета нейтрона относительно направления движения ядра дейтерия: $\alpha = 90^\circ$

Кинетическая энергия нейтрона: $(E_к)_n = 20 \text{ МэВ}$

Энергетический выход реакции: $Q = 15 \text{ МэВ}$

Массы частиц (приближенно равны массовым числам):

Масса ядра дейтерия: $m_D \approx 2 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра гелия: $m_{He} \approx 4 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n \approx 1 \text{ а.е.м.}$

Перевод в систему СИ:

$(E_к)_n = 20 \text{ МэВ} = 20 \cdot 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 3.204 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

$Q = 15 \text{ МэВ} = 15 \cdot 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 2.403 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

$m_D \approx 2 \text{ а.е.м.} \approx 2 \cdot 1.66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 3.32 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{He} \approx 4 \text{ а.е.м.} \approx 4 \cdot 1.66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 6.64 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_n \approx 1 \text{ а.е.м.} \approx 1.66 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

Кинетическую энергию ядра дейтерия $(E_к)_D$.

Решение:

Запишем закон сохранения энергии для данной ядерной реакции. Энергетический выход реакции $Q$ равен разности суммарной кинетической энергии продуктов реакции и суммарной кинетической энергии исходных частиц:

$Q = ((E_к)_{He} + (E_к)_n) - ((E_к)_D + (E_к)_T)$

Так как ядро трития покоилось, его кинетическая энергия $(E_к)_T = 0$. Тогда:

$Q = (E_к)_{He} + (E_к)_n - (E_к)_D$

Отсюда выразим искомую кинетическую энергию ядра дейтерия:

$(E_к)_D = (E_к)_{He} + (E_к)_n - Q$ (1)

Теперь запишем закон сохранения импульса. Суммарный импульс до реакции равен суммарному импульсу после реакции:

$\vec{p}_D + \vec{p}_T = \vec{p}_{He} + \vec{p}_n$

Поскольку ядро трития покоилось, $\vec{p}_T = 0$. Следовательно:

$\vec{p}_D = \vec{p}_{He} + \vec{p}_n$

Из этого векторного уравнения следует, что $\vec{p}_{He} = \vec{p}_D - \vec{p}_n$. По условию, вектор импульса нейтрона $\vec{p}_n$ перпендикулярен вектору импульса налетающего ядра дейтерия $\vec{p}_D$. Таким образом, мы можем найти квадрат модуля импульса ядра гелия по теореме Пифагора:

$p_{He}^2 = p_D^2 + p_n^2$

Свяжем квадрат импульса с кинетической энергией по формуле $E_к = \frac{p^2}{2m}$, откуда $p^2 = 2mE_к$. Подставим это соотношение в уравнение для импульсов:

$2m_{He}(E_к)_{He} = 2m_D(E_к)_D + 2m_n(E_к)_n$

Выразим отсюда кинетическую энергию ядра гелия:

$(E_к)_{He} = \frac{m_D}{m_{He}}(E_к)_D + \frac{m_n}{m_{He}}(E_к)_n$ (2)

Теперь подставим выражение (2) для $(E_к)_{He}$ в уравнение (1):

$(E_к)_D = \left(\frac{m_D}{m_{He}}(E_к)_D + \frac{m_n}{m_{He}}(E_к)_n\right) + (E_к)_n - Q$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $(E_к)_D$:

$(E_к)_D - \frac{m_D}{m_{He}}(E_к)_D = \frac{m_n}{m_{He}}(E_к)_n + (E_к)_n - Q$

$(E_к)_D\left(1 - \frac{m_D}{m_{He}}\right) = (E_к)_n\left(1 + \frac{m_n}{m_{He}}\right) - Q$

$(E_к)_D\left(\frac{m_{He} - m_D}{m_{He}}\right) = (E_к)_n\left(\frac{m_{He} + m_n}{m_{He}}\right) - Q$

Умножим обе части на $m_{He}$:

$(E_к)_D(m_{He} - m_D) = (E_к)_n(m_{He} + m_n) - Q \cdot m_{He}$

Окончательно выражаем $(E_к)_D$:

$(E_к)_D = \frac{(E_к)_n(m_{He} + m_n) - Q \cdot m_{He}}{m_{He} - m_D}$

Для расчетов будем использовать массовые числа в качестве приближения масс частиц. Расчеты удобно вести в МэВ.

Подставим числовые значения:

$(E_к)_D = \frac{20 \text{ МэВ} \cdot (4 + 1) - 15 \text{ МэВ} \cdot 4}{4 - 2} = \frac{20 \cdot 5 - 15 \cdot 4}{2} \text{ МэВ} = \frac{100 - 60}{2} \text{ МэВ} = \frac{40}{2} \text{ МэВ} = 20 \text{ МэВ}$

Ответ: кинетическая энергия ядра дейтерия равна $20 \text{ МэВ}$.