Номер 1033, страница 286 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1033. При взаимодействии ядер лития $^{6}_{3}\text{Li}$ и дейтерия $^{2}_{1}\text{H}$ образуются две одинаковые частицы. Определите, какая энергия выделится, если с ядрами дейтерия вступят во взаимодействие $N = 8,6 \cdot 10^{22}$ ядер лития. Определите массу воды, которую можно нагреть от температуры $t_1 = 0°C$ до температуры кипения $t_2 = 100°C$ за счет выделившейся энергии. Удельная теплоемкость воды $c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot ^\circ\text{C}}$.

Дано:

Ядерная реакция: $^6_3Li + ^2_1H \rightarrow 2X$

Число ядер лития: $N = 8,6 \cdot 10^{22}$

Начальная температура воды: $t_1 = 0 \text{ °C}$

Конечная температура воды: $t_2 = 100 \text{ °C}$

Удельная теплоемкость воды: $c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Справочные данные:

Масса ядра $^6_3Li$: $m_{Li} = 6,01512$ а.е.м.

Масса ядра $^2_1H$: $m_{H} = 2,01410$ а.е.м.

Масса ядра $^4_2He$: $m_{He} = 4,00260$ а.е.м.

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$

$1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж

Перевод в СИ:

$c = 4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Найти:

$E_{общ} - ?$

$m_{воды} - ?$

Решение:

Сначала определим, какие частицы образуются в результате реакции, и найдем энергетический выход одного акта реакции.

Запишем уравнение реакции: $^6_3Li + ^2_1H \rightarrow 2 \cdot ^A_ZX$.

Согласно законам сохранения массового числа и заряда:

1. Закон сохранения массового числа (числа нуклонов): $6 + 2 = 2 \cdot A \Rightarrow 8 = 2A \Rightarrow A = 4$.

2. Закон сохранения заряда (числа протонов): $3 + 1 = 2 \cdot Z \Rightarrow 4 = 2Z \Rightarrow Z = 2$.

Частица, у которой массовое число $A=4$ и зарядовое число $Z=2$, является ядром гелия $^4_2He$ (альфа-частица). Таким образом, в реакции образуются две одинаковые альфа-частицы.

Уравнение реакции принимает вид: $^6_3Li + ^2_1H \rightarrow 2 \cdot ^4_2He$.

Энергия, выделившаяся в одной реакции ($\Delta E$), определяется дефектом масс $\Delta m$:

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = (m_{Li} + m_{H} - 2 \cdot m_{He}) \cdot c^2$

$\Delta m = (6,01512 + 2,01410) - 2 \cdot 4,00260 = 8,02922 - 8,00520 = 0,02402$ а.е.м.

Энергетический выход в МэВ:

$\Delta E = 0,02402 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 22,37 \text{ МэВ}$

Переведем эту энергию в джоули:

$\Delta E \approx 22,37 \cdot 10^6 \text{ эВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 3,58 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Определите, какая энергия выделится, если с ядрами дейтерия вступят во взаимодействие $N = 8,6 \cdot 10^{22}$ ядер лития.

Общая энергия $E_{общ}$, выделившаяся при взаимодействии $N$ ядер лития, равна произведению числа ядер на энергию одной реакции:

$E_{общ} = N \cdot \Delta E$

$E_{общ} = 8,6 \cdot 10^{22} \cdot 3,58 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \approx 3,08 \cdot 10^{11} \text{ Дж}$.

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных ($N$ и $c$).

$E_{общ} \approx 3,1 \cdot 10^{11} \text{ Дж}$.

Ответ: Выделится энергия $E_{общ} \approx 3,1 \cdot 10^{11}$ Дж.

Определите массу воды, которую можно нагреть от температуры $t_1 = 0 \text{ °C}$ до температуры кипения $t_2 = 100 \text{ °C}$ за счет выделившейся энергии.

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания массы воды $m_{воды}$ от температуры $t_1$ до $t_2$, вычисляется по формуле:

$Q = c \cdot m_{воды} \cdot (t_2 - t_1)$

По условию, вся выделившаяся энергия $E_{общ}$ идет на нагревание воды, следовательно, $E_{общ} = Q$.

$E_{общ} = c \cdot m_{воды} \cdot (t_2 - t_1)$

Выразим из этой формулы массу воды:

$m_{воды} = \frac{E_{общ}}{c \cdot (t_2 - t_1)}$

Подставим числовые значения в системе СИ (используя более точное значение $E_{общ}$ для промежуточных расчетов):

$m_{воды} = \frac{3,08 \cdot 10^{11} \text{ Дж}}{4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (100 \text{ °C} - 0 \text{ °C})} = \frac{3,08 \cdot 10^{11}}{4,2 \cdot 10^5} \text{ кг} \approx 7,33 \cdot 10^5 \text{ кг}$.

Округлим результат до двух значащих цифр.

$m_{воды} \approx 7,3 \cdot 10^5$ кг.

Ответ: Можно нагреть $7,3 \cdot 10^5$ кг (или 730 тонн) воды.