Номер 1029, страница 285 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1029. Ядра углерода $_{6}^{13}\text{C}$ бомбардируются в течение времени $\Delta t = 30 \text{ мин}$ пучком $\alpha$-частиц. В результате образуются ядра кислорода $_{8}^{16}\text{O}$. Известно, что сила тока в пучке $I = 16 \text{ мА}$, а ядерные реакции превращения углерода в кислород вызывает $\eta = 0,01 \, \%$ $\alpha$-частиц, находящихся в пучке. Определите энергию, выделившуюся в ядерных реакциях.

Дано:

Изотоп углерода: ${}^{13}_{6}\text{C}$

Продукт реакции: ${}^{16}_{8}\text{O}$

Бомбардирующие частицы: $\alpha$-частицы (${}^{4}_{2}\text{He}$)

Время бомбардировки: $\Delta t = 30 \text{ мин}$

Сила тока в пучке: $I = 16 \text{ мА}$

Доля реагирующих частиц: $\eta = 0,01 \%$

Переведем данные в систему СИ:

$\Delta t = 30 \cdot 60 \text{ с} = 1800 \text{ с}$

$I = 16 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$\eta = 0,01 / 100 = 10^{-4}$

Найти:

$Q_{total}$

Решение:

1. Сначала запишем уравнение ядерной реакции. При бомбардировке ядра углерода ${}^{13}_{6}\text{C}$ альфа-частицей (${}^{4}_{2}\text{He}$) образуется ядро кислорода ${}^{16}_{8}\text{O}$. Чтобы законы сохранения зарядового и массового чисел выполнялись, в реакции также должна образоваться еще одна частица.Сумма массовых чисел до реакции: $13 + 4 = 17$. Сумма зарядовых чисел до реакции: $6 + 2 = 8$.Массовое число кислорода - 16, зарядовое - 8. Следовательно, недостающая частица должна иметь массовое число $17 - 16 = 1$ и зарядовое число $8 - 8 = 0$. Такой частицей является нейтрон ${}^{1}_{0}\text{n}$.

Полное уравнение реакции выглядит так:

${}^{13}_{6}\text{C} + {}^{4}_{2}\text{He} \rightarrow {}^{16}_{8}\text{O} + {}^{1}_{0}\text{n}$

2. Энергия, выделяющаяся в одной такой реакции ($Q_{reaction}$), определяется дефектом масс $\Delta m$:

$Q_{reaction} = \Delta m c^2 = (m({}^{13}_{6}\text{C}) + m({}^{4}_{2}\text{He}) - m({}^{16}_{8}\text{O}) - m({}^{1}_{0}\text{n}))c^2$

Воспользуемся табличными значениями масс атомных ядер и нейтрона в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m({}^{13}_{6}\text{C}) \approx 13,00335 \text{ а.е.м.}$

$m({}^{4}_{2}\text{He}) \approx 4,00260 \text{ а.е.м.}$

$m({}^{16}_{8}\text{O}) \approx 15,99491 \text{ а.е.м.}$

$m({}^{1}_{0}\text{n}) \approx 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Вычислим дефект масс:

$\Delta m = (13,00335 + 4,00260) - (15,99491 + 1,00866) = 17,00595 - 17,00357 = 0,00238 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м. составляет $931,5 \text{ МэВ}$. Тогда энергия одной реакции:

$Q_{reaction} = 0,00238 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 2,217 \text{ МэВ}$

Переведем эту энергию в джоули, используя соотношение $1 \text{ МэВ} \approx 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$:

$Q_{reaction} \approx 2,217 \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 3,55 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

3. Теперь найдем общее число $\alpha$-частиц $N_{total}$, которые бомбардировали мишень за время $\Delta t$. Заряд одной $\alpha$-частицы $q_{\alpha} = 2e$, где $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ - элементарный заряд. Общий заряд, перенесенный пучком, равен $q_{total} = I \cdot \Delta t$.

Число $\alpha$-частиц в пучке:

$N_{total} = \frac{q_{total}}{q_{\alpha}} = \frac{I \cdot \Delta t}{2e} = \frac{16 \cdot 10^{-3} \text{ А} \cdot 1800 \text{ с}}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{28,8}{3,2 \cdot 10^{-19}} = 9 \cdot 10^{19}$

4. Согласно условию, только доля $\eta$ этих частиц вызывает ядерную реакцию. Найдем число прореагировавших частиц $N_{react}$:

$N_{react} = N_{total} \cdot \eta = 9 \cdot 10^{19} \cdot 10^{-4} = 9 \cdot 10^{15}$

5. Общая энергия $Q_{total}$, выделившаяся в ядерных реакциях, равна произведению числа реакций на энергию одной реакции:

$Q_{total} = N_{react} \cdot Q_{reaction} = 9 \cdot 10^{15} \cdot 3,55 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 31,95 \cdot 10^2 \text{ Дж} \approx 3200 \text{ Дж}$

Ответ: выделившаяся энергия составляет приблизительно $3,2 \text{ кДж}$.