Номер 1031, страница 286 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1031. Радон ${}^{220}_{86}\text{Rn}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 56$ с,

испытывает $\alpha$-распад. Ядра гелия, образующиеся

при распаде радона, участвуют в ядерной реакции:

${}^{11}_{5}\text{B} + {}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{1}_{0}n$. Определите, сколько энергии (в МэВ)

выделится в таких ядерных реакциях за время $t = 168$ с,

если в ней примет участие $\alpha = 0,01 \%$ ядер гелия, испу-

щенных при радиоактивном распаде радона. Начальная

масса радона $m_0 = 9,46$ г.

Дано:

Изотоп: $^{220}_{86}\text{Rn}$

Период полураспада: $T_{1/2} = 56 \text{ с}$

Время: $t = 168 \text{ с}$

Начальная масса радона: $m_0 = 9,46 \text{ г}$

Доля ядер гелия, участвующих в реакции: $\alpha = 0,01 \% = 10^{-4}$

Ядерная реакция: $^{11}_{5}\text{B} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{14}_{7}\text{N} + ^{1}_{0}\text{n}$

Молярная масса радона-220: $M = 220 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Массы ядер и частиц в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m(^{11}_{5}\text{B}) = 11,009305 \text{ а.е.м.}$

$m(^{4}_{2}\text{He}) = 4,002603 \text{ а.е.м.}$

$m(^{14}_{7}\text{N}) = 14,003074 \text{ а.е.м.}$

$m(^{1}_{0}\text{n}) = 1,008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 9,46 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

$E_{общ}$ — общая выделившаяся энергия.

Решение:

Решение задачи состоит из нескольких этапов:
1. Находим начальное число ядер радона.
2. Определяем число распавшихся ядер радона за время $t$.
3. Находим число образовавшихся ядер гелия и число ядер гелия, вступивших в реакцию.
4. Рассчитываем энергию, выделяющуюся в одной ядерной реакции.
5. Находим общую выделившуюся энергию.

1. Начальное число ядер радона $N_0$ можно найти по формуле:
$N_0 = \frac{m_0}{M} N_A$
$N_0 = \frac{9,46 \text{ г}}{220 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,59 \cdot 10^{22} \text{ ядер}$

2. Число распавшихся ядер радона $\Delta N_{Rn}$ за время $t$ определяется законом радиоактивного распада:
$\Delta N_{Rn} = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = N_0 \left(1 - 2^{-t/T_{1/2}}\right)$
Подставим значения:
$\Delta N_{Rn} = 2,59 \cdot 10^{22} \cdot \left(1 - 2^{-168/56}\right) = 2,59 \cdot 10^{22} \cdot \left(1 - 2^{-3}\right) = 2,59 \cdot 10^{22} \cdot \left(1 - \frac{1}{8}\right) = 2,59 \cdot 10^{22} \cdot \frac{7}{8} \approx 2,27 \cdot 10^{22} \text{ ядер}$

3. При $\alpha$-распаде одного ядра радона образуется одно ядро гелия ($^{220}_{86}\text{Rn} \rightarrow ^{216}_{84}\text{Po} + ^{4}_{2}\text{He}$). Следовательно, число образовавшихся ядер гелия $N_{He}$ равно числу распавшихся ядер радона:
$N_{He} = \Delta N_{Rn} \approx 2,27 \cdot 10^{22} \text{ ядер}$
Число ядер гелия, вступивших в реакцию с бором ($N_{реакц}$), составляет $\alpha = 0,01\%$ от общего числа образовавшихся ядер гелия:
$N_{реакц} = \alpha \cdot N_{He} = 10^{-4} \cdot 2,27 \cdot 10^{22} = 2,27 \cdot 10^{18} \text{ ядер}$

4. Энергетический выход $Q$ одной ядерной реакции определяется дефектом масс $\Delta m$:
$Q = \Delta m \cdot c^2 = (m(^{11}_{5}\text{B}) + m(^{4}_{2}\text{He}) - m(^{14}_{7}\text{N}) - m(^{1}_{0}\text{n})) \cdot c^2$
$\Delta m = (11,009305 + 4,002603) - (14,003074 + 1,008665) = 15,011908 - 15,011739 = 0,000169 \text{ а.е.м.}$
Так как $\Delta m > 0$, реакция идет с выделением энергии.
$Q = 0,000169 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 0,1574 \text{ МэВ}$

5. Общая энергия $E_{общ}$, выделившаяся в таких ядерных реакциях, равна произведению числа реакций на энергию одной реакции:
$E_{общ} = N_{реакц} \cdot Q$
$E_{общ} = 2,27 \cdot 10^{18} \cdot 0,1574 \text{ МэВ} \approx 0,357 \cdot 10^{18} \text{ МэВ} = 3,57 \cdot 10^{17} \text{ МэВ}$

Ответ: выделится энергия, равная примерно $3,57 \cdot 10^{17} \text{ МэВ}$.