Номер 1027, страница 285 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1027. Определите массу свинца, который можно нагреть от температуры $t_1 = 17^\circ\text{C}$ до температуры плавления $t_2 = 327^\circ\text{C}$, используя всю энергию, выделяющуюся в ядерной реакции $^{\text{32}}_{\text{15}}\text{P} + ^{\text{1}}_{\text{1}}\text{H} \rightarrow ^{\text{32}}_{\text{16}}\text{S} + ^{\text{1}}_{\text{0}}n$, если в результате этой реакции будет получено $m_0 = 3,2 \text{ мг}$ серы $^{\text{32}}_{\text{16}}\text{S}$.

Удельная теплоемкость свинца $c = 120 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}$.

Дано:

$t_1 = 17 \text{ °C}$

$t_2 = 327 \text{ °C}$

$m_0 = 3,2 \text{ мг} = 3,2 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

$c = 120 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Ядерная реакция: ${}_{15}^{32}\text{P} + {}_{1}^{1}\text{H} \to {}_{16}^{32}\text{S} + {}_{0}^{1}\text{n}$

Справочные данные:

Масса изотопа фосфора-32: $m({}_{15}^{32}\text{P}) = 31,97391 \text{ а.е.м.}$

Масса протона (ядра водорода-1): $m({}_{1}^{1}\text{H}) = 1,00783 \text{ а.е.м.}$

Масса изотопа серы-32: $m({}_{16}^{32}\text{S}) = 31,97207 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m({}_{0}^{1}\text{n}) = 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_0 = 931,5 \text{ МэВ}$

Элементарный заряд: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$, $1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$, $1 \text{ МэВ} = 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Молярная масса серы-32: $M({}_{16}^{32}\text{S}) \approx 32 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Число Авогадро: $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$m_{св}$ — массу свинца.

Решение:

1. Найдем энергию, выделяющуюся в ходе одной ядерной реакции. Эта энергия возникает за счет разности масс исходных ядер и продуктов реакции (дефекта масс $\Delta m$).

Масса исходных частиц:

$m_{исх} = m({}_{15}^{32}\text{P}) + m({}_{1}^{1}\text{H}) = 31,97391 + 1,00783 = 32,98174 \text{ а.е.м.}$

Масса продуктов реакции:

$m_{прод} = m({}_{16}^{32}\text{S}) + m({}_{0}^{1}\text{n}) = 31,97207 + 1,00866 = 32,98073 \text{ а.е.м.}$

Дефект масс:

$\Delta m = m_{исх} - m_{прод} = 32,98174 - 32,98073 = 0,00101 \text{ а.е.м.}$

Энергетический выход одной реакции $Q_1$:

$Q_1 = \Delta m \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0,00101 \cdot 931,5 \approx 0,941 \text{ МэВ}$

Переведем эту энергию в джоули:

$Q_1 = 0,941 \text{ МэВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \frac{\text{Дж}}{\text{МэВ}} \approx 1,506 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

2. Определим, сколько всего ядерных реакций произошло. В каждой реакции образуется одно ядро серы ${}_{16}^{32}\text{S}$. Значит, общее число реакций $N$ равно числу образовавшихся атомов серы.

Найдем количество вещества серы $\nu$ в массе $m_0$:

$\nu = \frac{m_0}{M({}_{16}^{32}\text{S})} = \frac{3,2 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ моль}$

Найдем число атомов (и число реакций) $N$:

$N = \nu \cdot N_A = 1 \cdot 10^{-4} \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 6,022 \cdot 10^{19}$

3. Вычислим общую энергию $Q_{общ}$, выделившуюся в результате всех реакций:

$Q_{общ} = N \cdot Q_1 = 6,022 \cdot 10^{19} \cdot 1,506 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 9,07 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

4. По условию, вся эта энергия идет на нагревание свинца. Количество теплоты $Q_{нагр}$, необходимое для нагревания свинца массой $m_{св}$ от температуры $t_1$ до $t_2$, определяется формулой:

$Q_{нагр} = c \cdot m_{св} \cdot (t_2 - t_1)$

Приравняем выделившуюся и поглощенную энергию:

$Q_{общ} = Q_{нагр}$

$N \cdot Q_1 = c \cdot m_{св} \cdot (t_2 - t_1)$

Выразим отсюда искомую массу свинца $m_{св}$:

$m_{св} = \frac{N \cdot Q_1}{c \cdot (t_2 - t_1)}$

Подставим числовые значения:

$m_{св} = \frac{9,07 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{120 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (327 \text{ °C} - 17 \text{ °C})} = \frac{9,07 \cdot 10^6}{120 \cdot 310} = \frac{9,07 \cdot 10^6}{37200} \approx 243,8 \text{ кг}$

Ответ: можно нагреть свинец массой приблизительно 244 кг.