Номер 1028, страница 285 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1028. Определите массу алюминия, взятого при температуре плавления, который можно расплавить, используя всю энергию, выделяющуюся в ядерной реакции $_{25}^{54}\text{Mn} + _{1}^{3}\text{H} \rightarrow _{26}^{56}\text{Fe} + _{0}^{1}\text{n}$, в которой прореагирует $m_0 = 3$ мг трития.

Удельная теплота плавления алюминия $\lambda = 390 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Ядерная реакция: $_{25}^{54}\text{Mn} + _{1}^{3}\text{H} \rightarrow _{26}^{56}\text{Fe} + _{0}^{1}\text{n}$

Масса трития, $m_0 = 3 \text{ мг} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Удельная теплота плавления алюминия, $\lambda = 390 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 3.9 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Справочные данные:

Масса атома марганца-54: $m(_{25}^{54}\text{Mn}) = 53.94539 \text{ а.е.м.}$

Масса атома трития: $m(_{1}^{3}\text{H}) = 3.016049 \text{ а.е.м.}$

Масса атома железа-56: $m(_{26}^{56}\text{Fe}) = 55.934937 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Молярная масса трития: $M(_{1}^{3}\text{H}) \approx 3.016 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 3.016 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Число Авогадро: $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Переводной коэффициент: $1 \text{ МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Массу алюминия $m_{Al}$

Решение:

1. Найдем энергию $Q$, которая выделяется в ядерной реакции. Эта энергия равна количеству теплоты, которое пойдет на плавление алюминия. Энергия выделяется за счет уменьшения массы покоя частиц (дефект масс). Сначала найдем дефект масс $\Delta m$ для одной реакции:

$\Delta m = (m(_{25}^{54}\text{Mn}) + m(_{1}^{3}\text{H})) - (m(_{26}^{56}\text{Fe}) + m_n)$

$\Delta m = (53.94539 + 3.016049) - (55.934937 + 1.008665) = 56.961439 - 56.943602 = 0.017837 \text{ а.е.м.}$

2. Вычислим энергию $\Delta E$, выделяющуюся в результате одной реакции:

$\Delta E = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

$\Delta E = 0.017837 \cdot 931.5 \approx 16.613 \text{ МэВ}$

Переведем эту энергию в джоули:

$\Delta E = 16.613 \text{ МэВ} \cdot 1.602 \cdot 10^{-13} \frac{\text{Дж}}{\text{МэВ}} \approx 2.661 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

3. Найдем число $N$ атомов трития в массе $m_0$, которые вступят в реакцию. Число атомов можно найти через количество вещества $\nu$ и число Авогадро $N_A$:

$N = \nu \cdot N_A = \frac{m_0}{M(_{1}^{3}\text{H})} \cdot N_A$

$N = \frac{3 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{3.016 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 5.99 \cdot 10^{20}$

4. Определим общую энергию $Q$, выделившуюся в реакции при сгорании всей массы трития:

$Q = N \cdot \Delta E$

$Q = 5.99 \cdot 10^{20} \cdot 2.661 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \approx 1.594 \cdot 10^9 \text{ Дж}$

5. Эта энергия полностью идет на плавление алюминия, который уже находится при температуре плавления. Количество теплоты $Q_{пл}$, необходимое для плавления, определяется формулой:

$Q_{пл} = \lambda \cdot m_{Al}$

По условию, вся выделившаяся энергия идет на плавление, следовательно $Q = Q_{пл}$:

$\lambda \cdot m_{Al} = Q$

Отсюда выразим массу алюминия $m_{Al}$:

$m_{Al} = \frac{Q}{\lambda}$

$m_{Al} = \frac{1.594 \cdot 10^9 \text{ Дж}}{3.9 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 4087 \text{ кг}$

Ответ:

Масса алюминия, которую можно расплавить, составляет приблизительно 4087 кг.