Номер 1026, страница 284 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1026. Сколько энергии выделится в результате термоядерной реакции $_1^2\text{H} + _1^2\text{H} \rightarrow _2^4\text{He}$, если масса прореагировавшего дейтерия $m = 4,0 \text{ кг}$? Достаточно ли этой энергии для плавления льда на озере Нарочь — самом большом озере Беларуси? Площадь поверхности льда $S = 80 \text{ км}^2$, тол-

щина льда $h = 80 \text{ мм}$, плотность льда $\rho = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, температура льда $t = 0 \degree\text{C}$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Реакция: $ _1^2\text{H} + _1^2\text{H} \rightarrow _2^4\text{He} $
Масса дейтерия, $m = 4,0 \text{ кг}$
Площадь льда, $S = 80 \text{ км}^2$
Толщина льда, $h = 80 \text{ мм}$
Плотность льда, $\rho = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Температура льда, $t = 0^\circ\text{C}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 330 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$
Справочные данные:
Масса ядра дейтерия, $m_{_1^2\text{H}} = 2,014102 \text{ а.е.м.}$
Масса ядра гелия, $m_{_2^4\text{He}} = 4,002603 \text{ а.е.м.}$
Атомная единица массы, $1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг}$
Скорость света в вакууме, $c = 3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Число Авогадро, $N_A = 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Молярная масса дейтерия, $M = 2,014 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Перевод в систему СИ:
$S = 80 \text{ км}^2 = 80 \times (10^3 \text{ м})^2 = 8 \times 10^7 \text{ м}^2$
$h = 80 \text{ мм} = 80 \times 10^{-3} \text{ м} = 0,08 \text{ м}$
$\lambda = 330 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 330 \times 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 3,3 \times 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Энергию, выделившуюся в реакции, $E_{реакции}$ - ?
Достаточно ли энергии $E_{реакции}$ для плавления льда (сравнить с $Q_{плавл}$) - ?

Решение:

Задача решается в два этапа. Сначала определим количество энергии, которое выделяется в ходе термоядерной реакции. Затем рассчитаем энергию, необходимую для плавления заданного объема льда. В конце сравним полученные значения.

1. Расчет энергии термоядерной реакции ($E_{реакции}$)

Энергетический выход ядерной реакции определяется дефектом масс $\Delta m$ в соответствии с формулой Эйнштейна: $E = \Delta m c^2$.
Сначала найдем дефект масс для одной элементарной реакции $ _1^2\text{H} + _1^2\text{H} \rightarrow _2^4\text{He} $:
$\Delta m_1 = (2 \cdot m_{_1^2\text{H}} - m_{_2^4\text{He}})$
$\Delta m_1 = (2 \cdot 2,014102 - 4,002603) \text{ а.е.м.} = (4,028204 - 4,002603) \text{ а.е.м.} = 0,025601 \text{ а.е.м.}$
Энергия, выделяющаяся в одной реакции ($\Delta E_1$), составит:
$\Delta E_1 = \Delta m_1 c^2 = 0,025601 \text{ а.е.м.} \cdot (1,66054 \times 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}}) \cdot (3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2$
$\Delta E_1 \approx 3,826 \times 10^{-12} \text{ Дж}$

Далее определим общее число ядер дейтерия $N$ в массе $m = 4,0 \text{ кг}$:
$N = \frac{m}{M} N_A = \frac{4,0 \text{ кг}}{2,014 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,196 \times 10^{27}$ ядер.
Поскольку в каждой реакции синтеза участвуют два ядра дейтерия, общее число реакций $N_{реакций}$ будет вдвое меньше числа ядер:
$N_{реакций} = \frac{N}{2} = \frac{1,196 \times 10^{27}}{2} \approx 5,98 \times 10^{26}$.

Полная энергия, выделившаяся в реакции, равна произведению числа реакций на энергию одной реакции:
$E_{реакции} = N_{реакций} \cdot \Delta E_1 = 5,98 \times 10^{26} \cdot 3,826 \times 10^{-12} \text{ Дж} \approx 2,288 \times 10^{15} \text{ Дж}$.

2. Расчет энергии для плавления льда ($Q_{плавл}$)

Лед находится при температуре плавления ($0^\circ\text{C}$), поэтому для его полного расплавления требуется количество теплоты, которое находится по формуле:
$Q_{плавл} = \lambda \cdot m_{льда}$
Массу льда $m_{льда}$ найдем, зная его объем $V$ и плотность $\rho$. Объем, в свою очередь, равен произведению площади на толщину:
$m_{льда} = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot h$
$m_{льда} = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (8 \times 10^7 \text{ м}^2) \cdot (0,08 \text{ м}) = 5,76 \times 10^9 \text{ кг}$.

Теперь можно рассчитать необходимое для плавления количество теплоты:
$Q_{плавл} = (3,3 \times 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}) \cdot (5,76 \times 10^9 \text{ кг}) = 1,9008 \times 10^{15} \text{ Дж}$.

3. Сравнение энергий

Сравним выделившуюся в реакции энергию $E_{реакции}$ и необходимую для плавления льда энергию $Q_{плавл}$:
$E_{реакции} \approx 2,29 \times 10^{15} \text{ Дж}$
$Q_{плавл} \approx 1,90 \times 10^{15} \text{ Дж}$
Поскольку $E_{реакции} > Q_{плавл}$ ($2,29 \times 10^{15} \text{ Дж} > 1,90 \times 10^{15} \text{ Дж}$), можно сделать вывод, что энергии, выделившейся в результате термоядерной реакции, будет достаточно для плавления всего льда на озере Нарочь.

Ответ: в результате реакции выделится энергия приблизительно $2,29 \times 10^{15} \text{ Дж}$; этой энергии достаточно для плавления льда на озере Нарочь.