Номер 1024, страница 284 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1024. Пьер и Мария Кюри, восхищаясь свойствами радия, названного ими в честь «лучистых» людей, несущих свет знаний людям, в своем доме установили светильник, представляющий собой стеклянный шар, заполненный жидкостью с солями радия. Под действием радиоактивного излучения жидкость светилась.

1) В результате последовательных $\alpha$- и $\beta^{-}$-распадов радий ${}^{226}_{88}\text{Ra}$ превращается в стабильный нуклид свинца ${}^{206}_{82}\text{Pb}$. Определите, сколько $\alpha$- и $\beta^{-}$-распадов происходит при таком превращении.

2) Определите энергию, выделившуюся при превращении ядра радия ${}^{226}_{88}\text{Ra}$ в свинец ${}^{206}_{82}\text{Pb}$.

3) Пусть в шаре ежесекундно происходило $|\Delta N| = 3,7 \cdot 10^8$ распадов ядер радия. (Такое число распадов происходит в 10 мг радия.) Определите мощность светового излучения шара, если 1 % энергии ядерных реакций превращается в энергию фотонов.

1) Обозначим число $\alpha$-распадов через $x$, а число $\beta^{-}$-распадов через $y$. Тогда уравнение превращения радия в свинец можно записать в виде:

$_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow _{82}^{206}\text{Pb} + x \cdot _{2}^{4}\text{He} + y \cdot _{-1}^{0}\text{e}$

Согласно законам сохранения массового числа и заряда, мы можем составить два уравнения.

Закон сохранения массового числа (сумма верхних индексов):

$226 = 206 + x \cdot 4 + y \cdot 0$

$20 = 4x$

$x = 5$

Закон сохранения заряда (сумма нижних индексов):

$88 = 82 + x \cdot 2 + y \cdot (-1)$

Подставим найденное значение $x=5$:

$88 = 82 + 5 \cdot 2 - y$

$88 = 82 + 10 - y$

$88 = 92 - y$

$y = 92 - 88 = 4$

Таким образом, при превращении радия-226 в свинец-206 происходит 5 $\alpha$-распадов и 4 $\beta^{-}$-распада.

Ответ: 5 $\alpha$-распадов и 4 $\beta^{-}$-распада.

2) Энергия, выделяющаяся при ядерной реакции ($Q$), определяется дефектом масс $\Delta m$ по формуле Эйнштейна $Q = \Delta m \cdot c^2$. Дефект масс — это разность между массой исходного ядра и суммой масс продуктов распада. При расчетах удобно использовать атомные массы, так как массы электронов при $\beta^{-}$-распаде сокращаются.

$\Delta m = M(_{88}^{226}\text{Ra}) - (M(_{82}^{206}\text{Pb}) + 5 \cdot M(_{2}^{4}\text{He}))$

Используем табличные значения атомных масс:

$M(_{88}^{226}\text{Ra}) = 226,025410$ а.е.м.

$M(_{82}^{206}\text{Pb}) = 205,974465$ а.е.м.

$M(_{2}^{4}\text{He}) = 4,002603$ а.е.м.

Подставляем значения:

$\Delta m = 226,025410 - (205,974465 + 5 \cdot 4,002603) = 226,025410 - (205,974465 + 20,013015) = 226,025410 - 225,987480 = 0,03793$ а.е.м.

Энергетический эквивалент 1 а.е.м. равен $931,5 \text{ МэВ}$. Тогда выделившаяся энергия:

$Q = 0,03793 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 35,33 \text{ МэВ}$

Переведем энергию в джоули, зная что $1 \text{ МэВ} = 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$:

$Q = 35,33 \text{ МэВ} \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \frac{\text{Дж}}{\text{МэВ}} \approx 5,66 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Ответ: $Q \approx 35,33 \text{ МэВ}$ или $5,66 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$.

3)

Дано:

Активность (число распадов в секунду), $A = \frac{|\Delta N|}{\Delta t} = 3,7 \cdot 10^8 \text{ с}^{-1}$

Энергия на одну полную цепочку распада, $Q \approx 5,66 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

КПД преобразования в свет, $\eta = 1\% = 0,01$

Найти:

Мощность светового излучения, $P_{св}$.

Решение:

Свечение жидкости вызвано всей совокупностью ядерных реакций в цепочке распада от радия до свинца. Если радий находится в состоянии векового равновесия со своими дочерними продуктами распада, то активность каждого из них равна активности исходного радия. В этом случае полная энергия, выделяющаяся в шаре за одну секунду (мощность ядерных реакций), равна произведению активности радия на полную энергию, выделяющуюся в ходе всей цепочки распадов.

$P_{ядерн} = A \cdot Q$

$P_{ядерн} = 3,7 \cdot 10^8 \text{ с}^{-1} \cdot 5,66 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \approx 2,094 \cdot 10^{-3} \text{ Вт}$

Мощность светового излучения составляет 1% от полной мощности ядерных реакций.

$P_{св} = \eta \cdot P_{ядерн}$

$P_{св} = 0,01 \cdot 2,094 \cdot 10^{-3} \text{ Вт} \approx 2,094 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$P_{св} \approx 2,1 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}$

Ответ: $P_{св} \approx 2,1 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}$.