Номер 1034, страница 286 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1034. Сколько энергии выделится в ядерной реакции ${}_{4}^{9}\text{Be} + {}_{2}^{4}\text{He} \to {}_{6}^{12}\text{C} + {}_{0}^{1}n$, в которой прореагирует ${m}_{0} = 1,0$ г ге-лия? Во сколько раз эта энергия больше энергии, выде-ляемой при сгорании бензина массой ${m} = 1,0$ г? Удель-ная теплота сгорания бензина ${q} = 46 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Ядерная реакция: ${}_4^9\text{Be} + {}_2^4\text{He} \to {}_6^{12}\text{C} + {}_0^1\text{n}$
Масса гелия, $m_0 = 1.0 \text{ г}$
Масса бензина, $m = 1.0 \text{ г}$
Удельная теплота сгорания бензина, $q = 46 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$

$m_0 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ кг}$
$m = 1.0 \times 10^{-3} \text{ кг}$
$q = 46 \times 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

$E_{ядерн}$ — ?
$\frac{E_{ядерн}}{E_{бензин}}$ — ?

Решение:

Сначала определим энергию $\Delta E$, выделяющуюся в одном акте ядерной реакции. Эта энергия связана с дефектом масс $\Delta m$ соотношением Эйнштейна $\Delta E = \Delta m c^2$. Дефект масс — это разность масс исходных частиц и продуктов реакции. Используем точные массы ядер и частиц (в атомных единицах массы, а.е.м.): $m({}_4^9\text{Be}) = 9.012182 \text{ а.е.м.}$, $m({}_2^4\text{He}) = 4.002603 \text{ а.е.м.}$, $m({}_6^{12}\text{C}) = 12.000000 \text{ а.е.м.}$, $m({}_0^1\text{n}) = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (m({}_4^9\text{Be}) + m({}_2^4\text{He})) - (m({}_6^{12}\text{C}) + m({}_0^1\text{n}))$
$\Delta m = (9.012182 + 4.002603) - (12.000000 + 1.008665) = 0.00612 \text{ а.е.м.}$

Поскольку $\Delta m > 0$, реакция протекает с выделением энергии. Энергетический эквивалент 1 а.е.м. составляет $931.5 \text{ МэВ}$. Тогда энергия, выделяющаяся в одном акте реакции: $\Delta E = 0.00612 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 5.702 \text{ МэВ}$ Переведем эту энергию в джоули, зная, что $1 \text{ МэВ} \approx 1.602 \times 10^{-13} \text{ Дж}$: $\Delta E \approx 5.702 \cdot 1.602 \times 10^{-13} \text{ Дж} \approx 9.13 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

Далее найдем число $N$ ядер гелия в массе $m_0 = 1.0$ г. Молярная масса гелия $M(\text{He}) \approx 4.0 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 4.0 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$, число Авогадро $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$. $N = \frac{m_0}{M(\text{He})} \cdot N_A = \frac{1.0 \times 10^{-3} \text{ кг}}{4.0 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1.506 \times 10^{23}$

Полная энергия $E_{ядерн}$, выделившаяся в реакции, равна произведению числа прореагировавших ядер на энергию одной реакции: $E_{ядерн} = N \cdot \Delta E = 1.506 \times 10^{23} \cdot 9.13 \times 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1.375 \times 10^{11} \text{ Дж}$ С учетом точности исходных данных ($1.0$ г) округлим результат до двух значащих цифр: $E_{ядерн} \approx 1.4 \times 10^{11} \text{ Дж}$.

Теперь вычислим энергию $E_{бензин}$, выделяемую при сгорании $m = 1.0$ г бензина: $E_{бензин} = q \cdot m = 46 \times 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 1.0 \times 10^{-3} \text{ кг} = 4.6 \times 10^4 \text{ Дж}$

Найдем, во сколько раз энергия ядерной реакции больше энергии сгорания бензина: $\frac{E_{ядерн}}{E_{бензин}} = \frac{1.375 \times 10^{11} \text{ Дж}}{4.6 \times 10^4 \text{ Дж}} \approx 2.99 \times 10^6$ Округляя до двух значащих цифр, получаем, что ядерная энергия больше примерно в $3.0 \times 10^6$ раз.

Ответ:

В ядерной реакции выделится энергия $1.4 \times 10^{11}$ Дж. Эта энергия больше энергии, выделяемой при сгорании такой же массы бензина, примерно в $3.0 \times 10^6$ раз.