Номер 1039, страница 287 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1039. Покоящееся ядро радия ${}^{226}_{88}\text{Ra}$ испытывает $\alpha$-распад. Сравните импульсы и кинетические энергии образовавшихся ядер.

Дано:

Покоящееся ядро радия $^{226}_{88}Ra$.

Происходит $\alpha$-распад.

Найти:

Сравнить импульсы ($p$) и кинетические энергии ($E_k$) продуктов распада.

Решение:

При $\alpha$-распаде ядро испускает $\alpha$-частицу, которая является ядром гелия ($^{4}_{2}He$). Запишем уравнение реакции для распада ядра радия-226, используя законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z):

$^{226}_{88}Ra \rightarrow ^{A}_{Z}X + ^{4}_{2}He$

Сохранение массового числа: $226 = A + 4 \Rightarrow A = 222$.

Сохранение зарядового числа: $88 = Z + 2 \Rightarrow Z = 86$.

Элемент с зарядовым числом 86 — это радон (Rn). Таким образом, в результате распада образуются ядро радона-222 ($^{222}_{86}Rn$) и $\alpha$-частица:

$^{226}_{88}Ra \rightarrow ^{222}_{86}Rn + ^{4}_{2}He$

Сравнение импульсов

Систему, состоящую из ядра радия, можно считать замкнутой, так как внешними силами можно пренебречь. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса. До распада ядро радия покоилось, следовательно, его импульс, как и импульс всей системы, был равен нулю.

$\vec{p}_{нач} = 0$

После распада суммарный импульс системы равен векторной сумме импульсов ядра радона ($\vec{p}_{Rn}$) и $\alpha$-частицы ($\vec{p}_{\alpha}$):

$\vec{p}_{кон} = \vec{p}_{Rn} + \vec{p}_{\alpha}$

Согласно закону сохранения импульса, начальный и конечный импульсы системы равны:

$\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон} \Rightarrow 0 = \vec{p}_{Rn} + \vec{p}_{\alpha}$

Отсюда следует, что:

$\vec{p}_{Rn} = - \vec{p}_{\alpha}$

Это векторное равенство означает, что импульсы ядра радона и $\alpha$-частицы равны по модулю ($| \vec{p}_{Rn} | = | \vec{p}_{\alpha} |$) и направлены в противоположные стороны.

Сравнение кинетических энергий

Кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом $p$ и массой $m$ соотношением:

$E_k = \frac{p^2}{2m}$

Запишем выражения для кинетических энергий ядра радона ($E_{k,Rn}$) и $\alpha$-частицы ($E_{k,\alpha}$):

$E_{k,Rn} = \frac{p_{Rn}^2}{2m_{Rn}}$

$E_{k,\alpha} = \frac{p_{\alpha}^2}{2m_{\alpha}}$

Так как мы установили, что модули импульсов частиц равны ($p_{Rn} = p_{\alpha} = p$), то кинетическая энергия обратно пропорциональна массе частицы. Сравним массы продуктов распада. Масса ядра приблизительно пропорциональна его массовому числу $A$.

Масса ядра радона: $m_{Rn} \approx 222$ а.е.м.

Масса $\alpha$-частицы: $m_{\alpha} \approx 4$ а.е.м.

Поскольку $m_{Rn} > m_{\alpha}$, частица с меньшей массой ($\alpha$-частица) будет обладать большей кинетической энергией:

$E_{k,\alpha} > E_{k,Rn}$

Отношение их кинетических энергий равно обратному отношению их масс:

$\frac{E_{k,\alpha}}{E_{k,Rn}} = \frac{p^2 / (2m_{\alpha})}{p^2 / (2m_{Rn})} = \frac{m_{Rn}}{m_{\alpha}} \approx \frac{222}{4} = 55.5$

Таким образом, основную часть энергии распада уносит более легкая $\alpha$-частица.

Ответ: Импульсы образовавшихся ядер (ядра радона и $\alpha$-частицы) равны по модулю и противоположны по направлению. Кинетическая энергия $\alpha$-частицы больше кинетической энергии ядра радона (их отношение составляет примерно 55,5), так как масса $\alpha$-частицы значительно меньше массы ядра радона.