Номер 1038, страница 287 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1038. Покоящееся ядро радона $^{220}_{86}\text{Rn}$ в результате распада испускает $\alpha$-частицу со скоростью, модуль которой $v = 2 \cdot 10^7 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. Определите модуль скорости образовавшегося ядра.

Дано:

Изотоп радона: $^{220}_{86}Rn$

Начальная скорость ядра радона: $v_{Rn} = 0 \frac{м}{с}$

Скорость испущенной $\alpha$-частицы: $v_{\alpha} = 2 \cdot 10^7 \frac{м}{с}$

Найти:

Модуль скорости образовавшегося ядра: $v_{я}$

Решение:

Запишем уравнение $\alpha$-распада для ядра радона $^{220}_{86}Rn$. $\alpha$-частица представляет собой ядро гелия $^{4}_{2}He$. В результате $\alpha$-распада массовое число ядра уменьшается на 4, а зарядовое число (порядковый номер) — на 2.

$^{220}_{86}Rn \rightarrow ^{A}_{Z}Y + ^{4}_{2}He$

Используя законы сохранения массового и зарядового чисел, определим характеристики образовавшегося ядра Y:

$A = 220 - 4 = 216$

$Z = 86 - 2 = 84$

Элемент с порядковым номером 84 в таблице Менделеева — это полоний (Po). Следовательно, в результате распада образуется ядро полония $^{216}_{84}Po$. Полное уравнение реакции:

$^{220}_{86}Rn \rightarrow ^{216}_{84}Po + ^{4}_{2}He$

По условию, исходное ядро радона покоилось, значит, его начальный импульс был равен нулю ($p_{Rn} = 0$). Распад ядра — это внутренний процесс для системы, состоящей из этого ядра. Поэтому для данной системы применим закон сохранения импульса: суммарный импульс системы до распада равен суммарному импульсу системы после распада.

$\vec{p}_{Rn} = \vec{p}_{Po} + \vec{p}_{\alpha}$

Поскольку $\vec{p}_{Rn} = 0$, то:

$0 = \vec{p}_{Po} + \vec{p}_{\alpha}$

Это векторное равенство означает, что импульсы образовавшегося ядра полония и $\alpha$-частицы равны по модулю и противоположны по направлению:

$p_{Po} = p_{\alpha}$

Модуль импульса равен произведению массы на модуль скорости ($p = mv$). Следовательно:

$m_{Po} \cdot v_{Po} = m_{\alpha} \cdot v_{\alpha}$

Массы ядер с хорошей точностью пропорциональны их массовым числам (A). Поэтому мы можем использовать массовые числа вместо масс:

$m_{Po} \approx A_{Po} = 216$

$m_{\alpha} \approx A_{\alpha} = 4$

Выразим искомую скорость образовавшегося ядра $v_{я} = v_{Po}$:

$v_{я} = \frac{m_{\alpha}}{m_{Po}} \cdot v_{\alpha}$

Подставим числовые значения:

$v_{я} = \frac{4}{216} \cdot (2 \cdot 10^7 \frac{м}{с}) = \frac{8}{216} \cdot 10^7 \frac{м}{с}$

Сократим дробь $\frac{8}{216}$ на 8:

$\frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

Теперь вычислим значение скорости:

$v_{я} = \frac{1}{27} \cdot 10^7 \frac{м}{с} \approx 0.037037... \cdot 10^7 \frac{м}{с} \approx 3.7 \cdot 10^5 \frac{м}{с}$

Ответ: $3.7 \cdot 10^5 \frac{м}{с}$.