Номер 1037, страница 287 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1037. При бомбардировке неподвижных ядер азота $^{15}_{7}N$ протонами образуется углерод и $\alpha$-частица. Определите суммарную кинетическую энергию углерода и $\alpha$-частицы. Кинетическая энергия протона $(E_{\text{к}})_p = 1,26 \text{ МэВ}$.

Дано:

Реакция: ${}^{15}_{7}N + p \rightarrow C + \alpha$

Начальная кинетическая энергия ядра азота: $(E_к)_N = 0$ (ядро неподвижно)

Кинетическая энергия протона: $(E_к)_p = 1,26 \text{ МэВ}$

Масса атома азота-15: $m_N = 15,000109 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода-1 (протон): $m_H = 1,007825 \text{ а.е.м.}$

Масса атома углерода-12: $m_C = 12,000000 \text{ а.е.м.}$

Масса атома гелия-4 ($\alpha$-частица): $m_{He} = 4,002603 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ МэВ}$

$(E_к)_p = 1,26 \text{ МэВ} = 1,26 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 1,26 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,019 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Суммарную кинетическую энергию углерода и $\alpha$-частицы: $E'_к = (E_к)_C + (E_к)_\alpha - ?$

Решение:

1. Запишем уравнение ядерной реакции. Для этого определим, какой изотоп углерода образуется. Согласно законам сохранения массового числа (A) и заряда (Z):

Реакция в общем виде: ${}^{15}_{7}N + {}^{1}_{1}p \rightarrow {}^{A}_{Z}C + {}^{4}_{2}\alpha$

Закон сохранения заряда: $7 + 1 = Z + 2 \Rightarrow Z = 6$. Зарядовое число 6 соответствует углероду (C).

Закон сохранения массового числа: $15 + 1 = A + 4 \Rightarrow A = 12$. Образуется изотоп углерода-12.

Полное уравнение реакции: ${}^{15}_{7}N + {}^{1}_{1}p \rightarrow {}^{12}_{6}C + {}^{4}_{2}He$

2. Применим закон сохранения энергии для этой реакции. Полная энергия до реакции равна полной энергии после реакции. Полная энергия включает в себя энергию покоя ($mc^2$) и кинетическую энергию ($E_к$).

$E_{до} = E_{после}$

$(m_N c^2 + (E_к)_N) + (m_p c^2 + (E_к)_p) = (m_C c^2 + (E_к)_C) + (m_\alpha c^2 + (E_к)_\alpha)$

По условию, ядро азота неподвижно, поэтому $(E_к)_N = 0$. Нам нужно найти суммарную кинетическую энергию продуктов реакции $E'_к = (E_к)_C + (E_к)_\alpha$.

Выразим $E'_к$ из уравнения:

$E'_к = (m_N + m_p - m_C - m_\alpha)c^2 + (E_к)_p$

Величина $Q = (m_{начальных} - m_{конечных})c^2$ называется энергетическим выходом реакции. Таким образом, искомая энергия равна:

$E'_к = Q + (E_к)_p$

3. Вычислим энергетический выход реакции $Q$. Для расчетов используем массы нейтральных атомов, так как массы электронов в левой и правой частях уравнения реакции сокращаются ($7+1=8$ электронов до реакции и $6+2=8$ электронов после).

Найдем изменение массы (дефект масс) в ходе реакции:

$\Delta m = (m({}^{15}_{7}N) + m({}^{1}_{1}H)) - (m({}^{12}_{6}C) + m({}^{4}_{2}He))$

$\Delta m = (15,000109 \text{ а.е.м.} + 1,007825 \text{ а.е.м.}) - (12,000000 \text{ а.е.м.} + 4,002603 \text{ а.е.м.})$

$\Delta m = 16,007934 \text{ а.е.м.} - 16,002603 \text{ а.е.м.} = 0,005331 \text{ а.е.м.}$

Так как $\Delta m > 0$, реакция является экзотермической, то есть идет с выделением энергии.

Переведем дефект масс в энергию:

$Q = \Delta m \cdot c^2 = 0,005331 \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 4,966 \text{ МэВ}$

4. Теперь найдем суммарную кинетическую энергию продуктов реакции:

$E'_к = Q + (E_к)_p$

$E'_к = 4,966 \text{ МэВ} + 1,26 \text{ МэВ} = 6,226 \text{ МэВ}$

Округлим результат до сотых, так как кинетическая энергия протона дана с точностью до сотых.

$E'_к \approx 6,23 \text{ МэВ}$

Ответ: Суммарная кинетическая энергия углерода и $\alpha$-частицы составляет примерно $6,23 \text{ МэВ}$.