Номер 1051, страница 289 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1051. Покоящаяся элементарная частица $\pi$-мезон, не имеющая заряда, распалась на два фотона. Определите частоту фотонов, если масса $\pi$-мезона $m_{\pi} = 2,4 \cdot 10^{-28}$ кг.

Дано:

Масса покоя $\pi$-мезона, $m_{\pi} = 2.4 \cdot 10^{-28}$ кг

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Частоту фотонов, $\nu$

Решение:

При распаде покоящейся частицы на две другие частицы (в данном случае, на два фотона) должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения импульса.

Поскольку $\pi$-мезон до распада покоился, его начальный импульс был равен нулю ($p_{нач} = 0$). После распада образуются два фотона, которые разлетаются в противоположных направлениях. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после распада также должен быть равен нулю.

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0$

где $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ — импульсы двух фотонов. Из этого следует, что импульсы фотонов равны по модулю и противоположны по направлению: $|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2|$.

2. Закон сохранения энергии.

Полная энергия $\pi$-мезона до распада равна его энергии покоя, которая определяется знаменитой формулой Эйнштейна:

$E_{\pi} = m_{\pi}c^2$

Эта энергия полностью переходит в энергию двух образовавшихся фотонов:

$E_{\pi} = E_1 + E_2$

где $E_1$ и $E_2$ — энергии фотонов. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением $E = pc$. Так как модули импульсов фотонов равны ($p_1 = p_2$), то и их энергии должны быть равны: $E_1 = E_2$.

Обозначим энергию каждого фотона как $E_{\gamma}$. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде:

$m_{\pi}c^2 = 2E_{\gamma}$

Отсюда находим энергию одного фотона:

$E_{\gamma} = \frac{m_{\pi}c^2}{2}$

3. Вычисление частоты.

Энергия фотона также связана с его частотой $\nu$ через постоянную Планка $h$ по формуле:

$E_{\gamma} = h\nu$

Приравнивая два выражения для энергии фотона, получаем:

$h\nu = \frac{m_{\pi}c^2}{2}$

Выразим искомую частоту $\nu$:

$\nu = \frac{m_{\pi}c^2}{2h}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\nu = \frac{2.4 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}} = \frac{2.4 \cdot 10^{-28} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{13.26 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц}$

$\nu = \frac{21.6 \cdot 10^{-12}}{13.26 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 1.629 \cdot 10^{22} \text{ Гц}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\nu \approx 1.6 \cdot 10^{22} \text{ Гц}$

Ответ: частота каждого из фотонов составляет приблизительно $1.6 \cdot 10^{22}$ Гц.