Номер 1054, страница 291 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1054. При $\beta$-распаде нейтрон превращается в протон с испусканием электрона и антинейтрино: $_0^1n \to _1^1p + _{-1}^0e + \tilde{\nu}$.

Определите суммарную кинетическую энергию образовавшихся при распаде частиц. Кинетической энергией нейтрона и массой антинейтрино пренебречь.

Дано:

Реакция β-распада нейтрона: $_0^1n \rightarrow _1^1p + _{-1}^0e + \tilde{\nu}$

Кинетическая энергия нейтрона до распада, $E_{k,n} = 0$

Масса антинейтрино, $m_{\tilde{\nu}} = 0$

Масса нейтрона, $m_n$

Масса протона, $m_p$

Масса электрона, $m_e$

Скорость света в вакууме, $c$

Перевод в СИ:

Масса нейтрона $m_n \approx 1,674927 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса протона $m_p \approx 1,672622 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса электрона $m_e \approx 9,10938 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме $c \approx 2,99792 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц $E_k$

Решение:

Суммарная кинетическая энергия частиц, образовавшихся в результате распада, возникает за счет уменьшения суммарной массы покоя частиц. Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до распада равна полной энергии системы после распада. Полная энергия частицы является суммой ее энергии покоя ($E_0 = mc^2$) и кинетической энергии.

Энергия системы до распада — это энергия покоя нейтрона, так как по условию его кинетической энергией можно пренебречь:

$E_{до} = m_n c^2$

Энергия системы после распада — это сумма энергий покоя и кинетических энергий протона, электрона и антинейтрино:

$E_{после} = (m_p c^2 + E_{k,p}) + (m_e c^2 + E_{k,e}) + (m_{\tilde{\nu}} c^2 + E_{k,\tilde{\nu}})$

По условию, масса антинейтрино равна нулю ($m_{\tilde{\nu}} = 0$), следовательно, его энергия покоя также равна нулю. Искомая суммарная кинетическая энергия продуктов распада $E_k$ равна сумме их кинетических энергий:

$E_k = E_{k,p} + E_{k,e} + E_{k,\tilde{\nu}}$

Тогда энергия после распада запишется как:

$E_{после} = m_p c^2 + m_e c^2 + E_k$

Приравнивая энергию до и после реакции ($E_{до} = E_{после}$), получаем:

$m_n c^2 = m_p c^2 + m_e c^2 + E_k$

Отсюда выражаем суммарную кинетическую энергию:

$E_k = m_n c^2 - m_p c^2 - m_e c^2 = (m_n - m_p - m_e)c^2$

Разность масс $\Delta m = m_n - m_p - m_e$ называется дефектом масс.

Для удобства вычислений в ядерной физике часто используют атомные единицы массы (а.е.м.) и мегаэлектронвольты (МэВ). Энергетический эквивалент 1 а.е.м. равен 931,5 МэВ.

Массы частиц в а.е.м.:

$m_n \approx 1,008665 \text{ а.е.м.}$

$m_p \approx 1,007276 \text{ а.е.м.}$

$m_e \approx 0,000549 \text{ а.е.м.}$

Рассчитаем дефект масс:

$\Delta m = 1,008665 - 1,007276 - 0,000549 = 0,00084 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем энергию, соответствующую этому дефекту масс:

$E_k = \Delta m \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0,00084 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 0,782 \text{ МэВ}$

Переведем полученное значение в систему СИ (Джоули), используя соотношение $1 \text{ МэВ} = 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$:

$E_k = 0,782 \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1,25 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Ответ: Суммарная кинетическая энергия образовавшихся при распаде частиц составляет примерно $0,782 \text{ МэВ}$ или $1,25 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.