Номер 145, страница 46 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

145. На рисунке 37 представлены две поперечные волны, распространяющиеся по упругим жгутам. Периоды волн $T_1 = T_2 = 1,2 \text{ с}$. Найдите:

а) длину первой волны;

б) модуль скорости распространения второй волны;

в) *модули максимальных ускорений точек жгутов.

Рис. 37

Дано:

$T_1 = T_2 = T = 1,2$ с

Из графика на рисунке определим амплитуды и длины волн:

Для первой волны (1):

Амплитуда $A_1 = 4$ см $= 0,04$ м

Длина волны $\lambda_1 = 64$ см $= 0,64$ м

Для второй волны (2):

Амплитуда $A_2 = 8$ см $= 0,08$ м

Длина волны $\lambda_2 = 64$ см $= 0,64$ м

Найти:

а) $\lambda_1 - ?$

б) $v_2 - ?$

в) $a_{1,max} - ?, a_{2,max} - ?$

Решение:

а) длину первой волны

Длина волны – это расстояние, через которое форма волны повторяется. Из графика для волны 1 видно, что один полный цикл (например, от одного прохождения через ноль с положительным наклоном до следующего) занимает расстояние по оси $x$ от 0 до 64 см. Следовательно, длина первой волны $\lambda_1 = 64$ см.
Ответ: $\lambda_1 = 64$ см.

б) модуль скорости распространения второй волны

Модуль скорости распространения волны $v$ связан с её длиной $\lambda$ и периодом $T$ соотношением $v = \frac{\lambda}{T}$. Для второй волны, длина которой, согласно графику, $\lambda_2 = 64$ см $= 0,64$ м, а период по условию $T_2 = 1,2$ с, скорость распространения равна:
$v_2 = \frac{\lambda_2}{T_2} = \frac{0,64 \text{ м}}{1,2 \text{ с}} \approx 0,53$ м/с.
Ответ: $v_2 \approx 0,53$ м/с.

в) *модули максимальных ускорений точек жгутов

При прохождении поперечной волны точки жгута совершают гармонические колебания в вертикальном направлении. Ускорение точки при гармоническом колебании определяется формулой $a_y = - \omega^2 y$, где $\omega$ – циклическая частота, а $y$ – смещение точки от положения равновесия. Модуль максимального ускорения достигается при максимальном смещении, равном амплитуде $A$:
$a_{max} = \omega^2 A$.
Циклическая частота связана с периодом $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставив это в формулу для максимального ускорения, получим:
$a_{max} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 A = \frac{4\pi^2 A}{T^2}$.
Рассчитаем максимальные ускорения для каждой из волн:
Для первой волны ($A_1 = 0,04$ м, $T_1 = 1,2$ с):
$a_{1,max} = \frac{4\pi^2 A_1}{T_1^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,04 \text{ м}}{(1,2 \text{ с})^2} = \frac{0,16\pi^2}{1,44} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{\pi^2}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1,1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Для второй волны ($A_2 = 0,08$ м, $T_2 = 1,2$ с):
$a_{2,max} = \frac{4\pi^2 A_2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,08 \text{ м}}{(1,2 \text{ с})^2} = \frac{0,32\pi^2}{1,44} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{2\pi^2}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 2,2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Ответ: $a_{1,max} \approx 1,1$ м/с$^2$; $a_{2,max} \approx 2,2$ м/с$^2$.