Номер 142, страница 45 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

142. Вдоль струны распространяется гармоническая волна. На рисунке 34 под номером 1 представлен график зависимости координаты колеблющейся точки А струны от времени. Какой цифрой обозначен график колебаний точки В струны, если точка В находится на четверть длины волны дальше от источника волн, чем точка А? Ответ обоснуйте.

Рис. 34

Решение

Уравнение гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x, можно записать в виде $y(x, t) = A \cos(ωt - kx + φ_0)$, где $A$ – амплитуда, $ω$ – угловая частота, $k = \frac{2π}{λ}$ – волновое число, $λ$ – длина волны.

График 1 описывает колебания точки A, координату которой примем за $x_A$. Уравнение колебаний этой точки: $y_A(t) = y(x_A, t)$. Из графика видно, что в момент времени $t=0$ смещение $y_A=0$ и точка начинает двигаться вверх (скорость положительна). Такое движение описывается функцией синуса: $y_A(t) = A \sin(ωt)$.

Точка B находится на четверть длины волны дальше от источника, чем точка A. Это означает, что ее координата $x_B = x_A + \frac{λ}{4}$. Волна достигает точки B позже, чем точки A. Время задержки $Δt$ равно времени, за которое волна проходит расстояние $Δx = x_B - x_A = \frac{λ}{4}$. Скорость волны $v = \frac{λ}{T}$, где $T$ – период колебаний. Тогда время задержки $Δt = \frac{Δx}{v} = \frac{λ/4}{λ/T} = \frac{T}{4}$.

Таким образом, колебания в точке B будут повторять колебания в точке A с задержкой на четверть периода. Уравнение колебаний для точки B будет иметь вид:

$y_B(t) = y_A(t - Δt) = A \sin(ω(t - \frac{T}{4}))$

Поскольку угловая частота $ω = \frac{2π}{T}$, преобразуем выражение:

$y_B(t) = A \sin(\frac{2π}{T}t - \frac{2π}{T}\frac{T}{4}) = A \sin(ωt - \frac{π}{2})$

Используя формулу приведения тригонометрических функций $\sin(α - \frac{π}{2}) = -\cos(α)$, получаем:

$y_B(t) = -A \cos(ωt)$

Этот результат означает, что в начальный момент времени $t=0$ смещение точки B максимально и отрицательно: $y_B(0) = -A \cos(0) = -A$.

На рисунке 34 такому условию (в начальный момент времени смещение максимально и отрицательно) соответствует график под номером 4.

Ответ: График колебаний точки B обозначен цифрой 4.