Номер 136, страница 43 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

136. Капли воды, отрывающиеся от капельницы через одинаковые промежутки времени, свободно падают и попадают на горизонтальную пластинку, закрепленную на вертикальной легкой пружине. Циклическая частота собственных колебаний пластинки $\omega_0 = 16 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите расстояние между каплей, отрывающейся от капельницы, и ближайшей к ней падающей каплей, если пластинка колеблется с резонансной частотой.

Дано:

Циклическая частота собственных колебаний пластинки: $ω_0 = 16 \, \text{рад/с}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Расстояние между каплей, отрывающейся от капельницы, и ближайшей к ней падающей каплей $L$ - ?

Решение:

По условию задачи, пластинка колеблется с резонансной частотой. Резонанс наступает, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. В данном случае вынуждающей силой являются удары капель воды. Следовательно, циклическая частота падения капель $ω$ равна собственной циклической частоте колебаний пластинки $ω_0$.

$ω = ω_0 = 16 \, \text{рад/с}$

Циклическая частота $ω$ связана с периодом $T$ (промежутком времени между падением последовательных капель) соотношением:

$ω = \frac{2\pi}{T}$

Отсюда можем найти период $T$:

$T = \frac{2\pi}{ω_0}$

Рассмотрим две капли: одна (капля А) только что отрывается от капельницы, а другая (капля Б) — ближайшая к ней, уже падающая. Капля Б оторвалась от капельницы на время $T$ раньше, чем капля А. Таким образом, к моменту отрыва капли А капля Б уже находилась в свободном падении в течение времени $T$.

Капли падают свободно, то есть с начальной скоростью, равной нулю. Расстояние, которое проходит тело при свободном падении за время $t$, определяется формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Расстояние $L$ между каплей А (которая находится у капельницы и еще не прошла никакого пути) и каплей Б (которая падала в течение времени $T$) будет равно пути, который прошла капля Б за это время:

$L = \frac{gT^2}{2}$

Подставим в эту формулу выражение для периода $T$:

$L = \frac{g}{2} \left( \frac{2\pi}{ω_0} \right)^2 = \frac{g}{2} \frac{4\pi^2}{ω_0^2} = \frac{2g\pi^2}{ω_0^2}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчеты:

$L = \frac{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot \pi^2}{(16 \, \text{рад/с})^2} \approx \frac{19.6 \cdot 9.87}{256} \, \text{м} \approx \frac{193.45}{256} \, \text{м} \approx 0.756 \, \text{м}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $L \approx 0.76 \, \text{м}$.