Номер 129, страница 41 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

129. К свободному концу легкой горизонтальной пружины прикреплен брусок массой $m = 0,50 \text{ кг}$, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности. На брусок вдоль оси пружины действует переменная сила, частота колебаний которой $v = 20 \text{ Гц}$. Наблюдается ли резонанс в этой системе, если жесткость пружины $k = 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$?

Дано:

Масса бруска: $m = 0,50$ кг

Частота переменной силы: $ν = 20$ Гц

Жесткость пружины: $k = 200 \frac{Н}{м}$

Найти:

Наблюдается ли резонанс в системе?

Решение:

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешней силы $ν$ с собственной частотой колебательной системы $ν_0$.

Чтобы определить, наблюдается ли резонанс, необходимо вычислить собственную (природную) частоту колебаний пружинного маятника и сравнить ее с частотой действующей силы.

Собственная циклическая частота пружинного маятника определяется формулой:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Собственная частота колебаний $ν_0$ связана с циклической частотой $\omega_0$ соотношением:

$ν_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$

Объединив эти формулы, получим формулу для собственной частоты:

$ν_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ν_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{200 \text{ Н/м}}{0,50 \text{ кг}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{400 \text{ с}^{-2}} = \frac{20}{2\pi} \text{ Гц} = \frac{10}{\pi} \text{ Гц}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$ν_0 \approx \frac{10}{3,14} \approx 3,18$ Гц

Сравним полученную собственную частоту системы $ν_0$ с частотой вынуждающей силы $ν$:

$ν_0 \approx 3,18$ Гц, а $ν = 20$ Гц.

Поскольку $ν_0 \neq ν$, условие резонанса не выполняется. Частоты значительно различаются.

Ответ: резонанс в этой системе не наблюдается, так как собственная частота колебаний системы ($ν_0 \approx 3,18$ Гц) не совпадает с частотой переменной силы ($ν = 20$ Гц).