Номер 130, страница 41 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

130. В вагоне поезда ученик подвесил на упругом жгуте жесткостью $k=5,0 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ небольшой брелок массой $m=50 \text{ г}$ и заметил, что при скорости движения поезда, модуль которой $v=19 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, происходят колебания брелока с наибольшей амплитудой. По этим данным он определил расстояние между стыками рельсов. Какой результат получил ученик, проведя этот опыт?

Дано:

Жесткость жгута, $k = 5,0 \frac{Н}{м}$

Масса брелока, $m = 50 \text{ г}$

Скорость поезда, $v = 19 \frac{м}{с}$

Перевод в систему СИ:

$m = 50 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,050 \text{ кг}$

Найти:

Расстояние между стыками рельсов, $L$ - ?

Решение:

В задаче описано явление механического резонанса. Колебания брелока с наибольшей амплитудой происходят в том случае, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой колебаний системы "жгут-брелок". Внешним воздействием являются периодические толчки, которые вагон испытывает при проезде стыков рельсов.

Собственный период колебаний $T_0$ пружинного маятника (брелок на жгуте) вычисляется по формуле:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Период внешнего воздействия $T$ равен времени, за которое поезд проходит расстояние $L$ между стыками рельсов. Этот период можно найти по формуле:

$T = \frac{L}{v}$

Условие резонанса заключается в равенстве периода собственных колебаний и периода внешнего воздействия:

$T = T_0$

Приравнивая правые части выражений для периодов, получаем уравнение:

$\frac{L}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $L$:

$L = v \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим известные значения в полученную формулу и выполним вычисления:

$L = 19 \frac{м}{с} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{0,050 \text{ кг}}{5,0 \frac{Н}{м}}} = 19 \cdot 2\pi\sqrt{0,01} \text{ м}$

$L = 19 \cdot 2\pi \cdot 0,1 \text{ м} = 19 \cdot 0,2\pi \text{ м} = 3,8\pi \text{ м}$

Вычислим числовое значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$L \approx 3,8 \cdot 3,14 \text{ м} \approx 11,932 \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные ($k, m, v$) приведены с такой точностью.

$L \approx 12 \text{ м}$

Ответ: расстояние между стыками рельсов, которое определил ученик, составляет примерно $12 \text{ м}$.