Номер 134, страница 43 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

134. Периодическая сила, модуль зависимости которой от времени имеет вид: $F(t) = F_{\max}\cos(Bt)$, где $F_{\max} = 0,05 \text{ H}$, $B = 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, действует на пружинный маятник, вызывая резонанс. Определите жесткость пружины маятника, если масса груза маятника $m = 400 \text{ г}$.

Дано:

$F(t) = F_{max}\cos(Bt)$

$F_{max} = 0,05$ Н

$B = 2\pi$ рад/с

$m = 400$ г

Перевод в систему СИ:

$m = 400 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,4 \text{ кг}$

Найти:

$k$

Решение:

Внешняя периодическая сила $F(t) = F_{max}\cos(Bt)$ действует на пружинный маятник с циклической частотой $\omega_{ext}$, которая равна коэффициенту при времени $t$ в аргументе косинуса. Таким образом, $\omega_{ext} = B = 2\pi$ рад/с.

По условию задачи, действие этой силы вызывает резонанс. Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы.

Собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника $\omega_0$ определяется формулой:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

где $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса груза.

При резонансе выполняется условие:

$\omega_{ext} = \omega_0$

Подставляя известные выражения для частот, получаем:

$B = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Для того чтобы найти жесткость пружины $k$, выразим ее из этого уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$B^2 = \frac{k}{m}$

Отсюда находим $k$:

$k = m \cdot B^2$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$k = 0,4 \text{ кг} \cdot (2\pi \text{ рад/с})^2 = 0,4 \cdot 4\pi^2 \text{ Н/м} = 1,6\pi^2 \text{ Н/м}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,1416$:

$k \approx 1,6 \cdot (3,1416)^2 \text{ Н/м} \approx 1,6 \cdot 9,8696 \text{ Н/м} \approx 15,79 \text{ Н/м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$k \approx 16 \text{ Н/м}$

Ответ: жесткость пружины маятника $k = 1,6\pi^2 \text{ Н/м} \approx 16 \text{ Н/м}$.