Номер 135, страница 43 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

135. Под действием внешней силы пружинный маятник совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной оси $Ox$. На рисунке 32 показан график зависимости проекции на ось $Ox$ внешней силы от времени. Масса груза маятника $m = 200$ г. Определите максимальную потенциальную энергию маятника, если под действием внешней силы в колебательной системе наблюдается резонанс. При этом амплитуда колебаний $x_{\max} = 20$ см.

$F_x, H$
0,04
0
-0,04

0
0,5
1
1,5
2
2,5 $t, c$

Рис. 32

Дано:

Масса груза $m = 200 \text{ г}$
Амплитуда колебаний $x_{max} = 20 \text{ см}$
Из графика: период колебаний внешней силы $T = 2.0 \text{ с}$
В системе наблюдается резонанс.

Перевод в систему СИ:
$m = 0.2 \text{ кг}$
$x_{max} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Максимальную потенциальную энергию маятника $E_{p,max}$.

Решение:

Максимальная потенциальная энергия пружинного маятника достигается при максимальном отклонении от положения равновесия, то есть когда смещение равно амплитуде $x = x_{max}$. Она вычисляется по формуле:
$E_{p,max} = \frac{k x_{max}^2}{2}$
где $k$ – жесткость пружины.

Для вычисления энергии необходимо найти жесткость пружины $k$. Это можно сделать, используя условие резонанса. При резонансе частота вынуждающей (внешней) силы $\omega$ совпадает с собственной частотой колебаний маятника $\omega_0$:
$\omega = \omega_0$

Круговую частоту вынуждающей силы $\omega$ определим по ее периоду $T$, который можно найти из предоставленного графика. График показывает, что один полный период колебания силы составляет $T = 2.0 \text{ с}$.
Частота вычисляется по формуле:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0 \text{ с}} = \pi \text{ рад/с}$

Собственная круговая частота колебаний пружинного маятника связана с его массой $m$ и жесткостью пружины $k$ следующим соотношением:
$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Так как в системе резонанс, приравниваем частоты $\omega$ и $\omega_0$:
$\sqrt{\frac{k}{m}} = \pi$
Возведя обе части уравнения в квадрат, выразим жесткость $k$:
$\frac{k}{m} = \pi^2 \implies k = m \pi^2$

Подставим числовые значения в СИ:
$k = 0.2 \text{ кг} \cdot \pi^2 \text{ (рад/с)}^2 = 0.2\pi^2 \text{ Н/м}$

Теперь, зная жесткость пружины $k$ и амплитуду колебаний $x_{max}$, мы можем рассчитать максимальную потенциальную энергию:
$E_{p,max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot (0.2\pi^2 \text{ Н/м}) \cdot (0.2 \text{ м})^2$
$E_{p,max} = \frac{1}{2} \cdot 0.2\pi^2 \cdot 0.04 = 0.1 \pi^2 \cdot 0.04 = 0.004\pi^2 \text{ Дж}$

Для получения численного ответа, используем приближение $\pi^2 \approx 9.87$:
$E_{p,max} \approx 0.004 \cdot 9.87 \text{ Дж} \approx 0.03948 \text{ Дж}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью данных в условии), получаем:
$E_{p,max} \approx 0.039 \text{ Дж}$

Ответ: максимальная потенциальная энергия маятника составляет приблизительно 0.039 Дж.