Номер 138, страница 44 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

138. В озере на волнах колеблется в вертикальном положении цилиндрический поплавок массой $m = 7,4 \text{ г}$ и площадью поперечного сечения $S = 0,20 \text{ см}^2$. При каком периоде волн высота выступающей над водой части поплавка будет наибольшей?

Дано:

$m = 7,4 \text{ г} = 7,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$S = 0,20 \text{ см}^2 = 0,20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2,0 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды в озере)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$T$

Решение:

Высота выступающей над водой части поплавка будет наибольшей, когда амплитуда его вертикальных колебаний максимальна. Это явление называется резонансом. Резонанс наступает в том случае, когда частота вынуждающей силы (в данном случае, частота волн) совпадает с собственной частотой колебаний системы (поплавка). Соответственно, период волн $T$ должен быть равен периоду собственных колебаний поплавка $T_0$.

Найдем период собственных колебаний поплавка. В положении равновесия на поплавок действуют сила тяжести $F_g = mg$ (направлена вниз) и выталкивающая сила Архимеда $F_{A0} = \rho g V_0$ (направлена вверх), где $V_0 = S h_0$ - объем погруженной части поплавка. Условие равновесия:

$mg = \rho g S h_0$

Если поплавок сместить из положения равновесия на малую величину $x$ вниз, объем погруженной части увеличится, и новая сила Архимеда станет $F_A = \rho g S (h_0 + x)$. Возникнет возвращающая сила $F_{возвр}$, направленная вверх и равная разности силы Архимеда и силы тяжести:

$F_{возвр} = F_A - F_g = \rho g S (h_0 + x) - mg$

Подставляя условие равновесия $mg = \rho g S h_0$, получим:

$F_{возвр} = \rho g S h_0 + \rho g S x - \rho g S h_0 = (\rho g S)x$

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения поплавка имеет вид $m\ddot{x} = -F_{возвр}$, где знак "минус" показывает, что возвращающая сила направлена противоположно смещению.

$m\ddot{x} = -(\rho g S)x$

Это уравнение гармонических колебаний вида $m\ddot{x} = -kx$, где роль коэффициента жесткости пружины выполняет величина $k = \rho g S$.

Период собственных колебаний такой системы находится по формуле:

$T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}$

В условиях резонанса $T = T_0$. Подставим числовые значения:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{7,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2,0 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{7,4 \cdot 10^{-3}}{0,196}} \approx 2\pi \sqrt{0,037755} \approx 6,28 \cdot 0,1943 \approx 1,22 \text{ с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

Ответ: $T \approx 1,2 \text{ с}$.