Номер 133, страница 42 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

133. *На рисунке 31 показан график зависимости проекции на ось $Ox$ внешней силы, действующей на груз математического маятника. Масса груза маятника $m = 200 \text{ г}$. Определите модуль максимального импульса груза, если под действием внешней силы в системе «математический маятник» наблюдается резонанс. При этом амплитуда колебаний $x_{\max} = 50 \text{ см}$.

$F_x, \text{H}$

0,1

0

-0,1

1

2

3

4

5 $t, \text{с}$

Рис. 31

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$x_{max} = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Из графика, период внешней силы $T = 4 \text{ с}$.

Найти:

$p_{max}$ - ?

Решение:

Модуль максимального импульса груза $p_{max}$ определяется произведением массы груза $m$ на модуль его максимальной скорости $v_{max}$:

$p_{max} = m \cdot v_{max}$

При гармонических колебаниях максимальная скорость связана с амплитудой колебаний $x_{max}$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = \omega \cdot x_{max}$

Тогда формула для максимального импульса примет вид:

$p_{max} = m \cdot \omega \cdot x_{max}$

В условии сказано, что в системе наблюдается резонанс. Явление резонанса наступает, когда частота вынуждающей (внешней) силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. Следовательно, циклическая частота колебаний маятника $\omega$ равна циклической частоте внешней силы $\omega_{F}$.

Циклическую частоту внешней силы найдем из графика ее зависимости от времени. По графику видно, что период колебаний силы $T$ (время одного полного колебания) равен 4 секундам.

$T = 4 \text{ с}$

Циклическая частота связана с периодом формулой:

$\omega = \omega_{F} = \frac{2\pi}{T}$

Подставим значение периода:

$\omega = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$

Теперь мы можем рассчитать модуль максимального импульса, подставив все известные значения в итоговую формулу:

$p_{max} = 0.2 \text{ кг} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} \cdot 0.5 \text{ м} = 0.05\pi \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$:

$p_{max} \approx 0.05 \cdot 3.14 = 0.157 \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 0.16 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: $p_{max} = 0.05\pi \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 0.16 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.