Номер 127, страница 41 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

127. *Вокруг горизонтальной оси $O$ без трения может вращаться легкий рычаг (рис. 30). На концах рычага укреплены небольшие грузы, массы которых одинаковы: $m_1 = m_2$. Расстояние от оси вращения до груза $m_1$ и $m_2$ соответственно равно $l_1$ и $l_2$. Рычаг, находившийся в положении устойчивого равновесия, отклонили на небольшой угол от вертикали и отпустили. Определите частоту колебаний рычага.

Рис. 30

Дано:

Массы грузов: $m_1 = m_2 = m$
Расстояния от оси вращения до грузов: $l_1$ и $l_2$
Рычаг легкий, трения нет.
Система совершает малые колебания.

Найти:

Частоту колебаний рычага $f$.

Решение:

Данная система, состоящая из легкого рычага и двух грузов, при отклонении от положения равновесия совершает колебания и представляет собой физический маятник. Частота колебаний физического маятника определяется его моментом инерции $I$ относительно оси вращения и расстоянием $d$ от этой оси до центра масс системы.

Циклическая (угловая) частота $\omega$ малых колебаний физического маятника определяется формулой:
$\omega = \sqrt{\frac{M g d}{I}}$
где $M$ – общая масса системы, $g$ – ускорение свободного падения, $d$ – расстояние от оси вращения до центра масс, $I$ – момент инерции системы относительно оси вращения.

Определим величины, входящие в формулу.
Общая масса системы: $M = m_1 + m_2 = m + m = 2m$.

Момент инерции системы $I$ относительно оси O. Так как рычаг легкий, его моментом инерции можно пренебречь. Грузы считаем точечными массами. Тогда момент инерции системы равен сумме моментов инерции грузов:
$I = I_1 + I_2 = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 = m l_1^2 + m l_2^2 = m(l_1^2 + l_2^2)$.

Расстояние $d$ от оси вращения O до центра масс системы. Положение устойчивого равновесия соответствует такому положению, при котором центр масс системы находится на вертикали ниже оси вращения. Это возможно, если плечо с большей длиной ($l_1$, как показано на рисунке) направлено вниз. Координата центра масс, отсчитываемая от точки O вдоль рычага, равна:
$d = \frac{m_1 l_1 - m_2 l_2}{m_1 + m_2} = \frac{m l_1 - m l_2}{m + m} = \frac{m(l_1 - l_2)}{2m} = \frac{l_1 - l_2}{2}$.
Условие устойчивости равновесия ($d>0$) требует, чтобы $l_1 > l_2$.

Теперь подставим найденные выражения для $M, I$ и $d$ в формулу для циклической частоты $\omega$:
$\omega = \sqrt{\frac{(2m) g \left(\frac{l_1 - l_2}{2}\right)}{m(l_1^2 + l_2^2)}} = \sqrt{\frac{m g (l_1 - l_2)}{m(l_1^2 + l_2^2)}} = \sqrt{\frac{g (l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}}$.

Обычная частота колебаний $f$ (в герцах) связана с циклической частотой $\omega$ соотношением $\omega = 2\pi f$. Отсюда находим искомую частоту:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g (l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}}$.

Ответ: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g (l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}}$