Номер 120, страница 38 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

120. К свободному концу горизонтальной пружины прикреплен брусок, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности и совершающий гармонические колебания вдоль оси Ox (рис. 17). Зависимость координаты бруска от времени имеет вид: $x(t) = A\sin(Bt + C)$, где $A = 4,0 \text{ см}$, $B = \frac{4\pi}{5} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, $C = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$. Определите кинетическую энергию бруска в момент времени $t = 2,5 \text{ с}$, если полная энергия этого пружинного маятника $W = 40 \text{ мДж}$.

Рис. 17

Дано:

Уравнение гармонических колебаний: $x(t) = A\sin(Bt + C)$

Амплитуда $A = 4.0 \text{ см}$

Циклическая частота $B = \frac{4\pi}{5} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Начальная фаза $C = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Полная энергия маятника $W = 40 \text{ мДж}$

Момент времени $t = 2.5 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$A = 4.0 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$W = 40 \text{ мДж} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0.04 \text{ Дж}$

Найти:

$E_k$ — кинетическую энергию бруска в момент времени $t$.

Решение:

Полная механическая энергия $W$ пружинного маятника сохраняется и в любой момент времени равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$W = E_k(t) + E_p(t)$

Следовательно, кинетическую энергию в заданный момент времени можно определить по формуле:

$E_k(t) = W - E_p(t)$

Потенциальная энергия пружины зависит от ее жесткости $k$ и смещения бруска от положения равновесия $x$:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Полная энергия маятника равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном смещении, равном амплитуде $A$:

$W = \frac{kA^2}{2}$

Из соотношения для полной энергии можно выразить жесткость пружины $k = \frac{2W}{A^2}$. Подставим это выражение в формулу для потенциальной энергии, чтобы связать ее с полной энергией:

$E_p = \frac{1}{2} \left( \frac{2W}{A^2} \right) x^2 = W \left( \frac{x}{A} \right)^2$

Теперь необходимо найти смещение бруска $x$ в момент времени $t = 2.5 \text{ с}$, используя заданное уравнение колебаний $x(t) = A\sin(Bt + C)$:

$x(2.5) = A \sin\left(\frac{4\pi}{5} \cdot 2.5 + \frac{\pi}{3}\right)$

Вычислим фазу колебаний (аргумент синуса) в данный момент времени:

$\phi = B \cdot t + C = \frac{4\pi}{5} \cdot 2.5 + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{5} \cdot \frac{5}{2} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Поскольку функция синус периодична с периодом $2\pi$, то $\sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, смещение бруска в момент времени $t = 2.5 \text{ с}$ равно:

$x(2.5) = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем рассчитать потенциальную энергию в этот момент времени, подставив найденное отношение $\frac{x}{A}$ в ранее выведенную формулу:

$E_p = W \left( \frac{A \frac{\sqrt{3}}{2}}{A} \right)^2 = W \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = W \cdot \frac{3}{4}$

Подставим числовое значение полной энергии $W$:

$E_p = 0.04 \text{ Дж} \cdot \frac{3}{4} = 0.03 \text{ Дж}$

Наконец, находим кинетическую энергию бруска:

$E_k = W - E_p = 0.04 \text{ Дж} - 0.03 \text{ Дж} = 0.01 \text{ Дж}$

Переведем результат в миллиджоули: $0.01 \text{ Дж} = 10 \text{ мДж}$.

Ответ:

Кинетическая энергия бруска в момент времени $t=2.5$ с равна $10$ мДж.