Номер 115, страница 37 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

115. *Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид: $x(t) = A \sin(Bt)$, где A = 10 см, $B = \frac{\pi}{2} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Постройте графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии маятника от времени. Масса маятника $m = 10 \text{ г}$.

Н

Дано:

$x(t) = A\sin(Bt)$

$A = 10 \text{ см}$

$B = \frac{\pi}{2} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$m = 10 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

$B$ является циклической частотой $\omega$, поэтому $\omega = \frac{\pi}{2} \text{ с}^{-1}$

Найти:

Построить графики зависимостей кинетической энергии $E_k(t)$, потенциальной энергии $E_p(t)$ и полной энергии $E_{полн}(t)$ от времени.

Решение:

1. Найдем зависимость скорости от времени.

Скорость $v(t)$ является первой производной координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A\sin(Bt)) = AB\cos(Bt)$

2. Найдем зависимость кинетической энергии от времени.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$:

$E_k(t) = \frac{m(AB\cos(Bt))^2}{2} = \frac{1}{2}mA^2B^2\cos^2(Bt)$

3. Найдем зависимость потенциальной энергии от времени.

Потенциальная энергия пружинного маятника вычисляется по формуле $E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ - жесткость пружины.

Связь между циклической частотой $\omega$, массой $m$ и жесткостью $k$ для пружинного маятника: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$. В нашем случае $\omega = B$.

Отсюда выразим жесткость: $k = m\omega^2 = mB^2$.

Теперь подставим $k$ и $x(t)$ в формулу для потенциальной энергии:

$E_p(t) = \frac{(mB^2)(A\sin(Bt))^2}{2} = \frac{1}{2}mA^2B^2\sin^2(Bt)$

4. Найдем полную энергию маятника.

Полная механическая энергия $E_{полн}$ является суммой кинетической и потенциальной энергий:

$E_{полн}(t) = E_k(t) + E_p(t) = \frac{1}{2}mA^2B^2\cos^2(Bt) + \frac{1}{2}mA^2B^2\sin^2(Bt)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$E_{полн}(t) = \frac{1}{2}mA^2B^2(\cos^2(Bt) + \sin^2(Bt))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, получаем:

$E_{полн} = \frac{1}{2}mA^2B^2 = \text{const}$

Полная энергия маятника сохраняется во времени. Это значение также является максимальным значением для кинетической и потенциальной энергий, обозначим его $E_{max}$.

5. Вычислим значение полной энергии.

$E_{полн} = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \text{ кг} \cdot (0.1 \text{ м})^2 \cdot (\frac{\pi}{2} \text{ с}^{-1})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot 0.01 \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{0.0001 \pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Приближенное значение: $E_{полн} \approx \frac{9.87}{8} \cdot 10^{-4} \text{ Дж} \approx 1.23 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

Таким образом, мы получили следующие зависимости для энергий:

$E_k(t) = E_{полн} \cos^2(\frac{\pi}{2}t) = \frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4} \cos^2(\frac{\pi}{2}t) \text{ Дж}$

$E_p(t) = E_{полн} \sin^2(\frac{\pi}{2}t) = \frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4} \sin^2(\frac{\pi}{2}t) \text{ Дж}$

$E_{полн}(t) = \frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

6. Построение графиков.

Период колебаний маятника: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 \text{ с}$.

Период колебаний энергии ($T_E$) в два раза меньше периода колебаний маятника, так как энергия зависит от квадратов синуса и косинуса. $T_E = \frac{T}{2} = 2 \text{ с}$.

График полной энергии $E_{полн}(t)$

Это прямая линия, параллельная оси времени $t$, проходящая на уровне $E = \frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$. Это отражает закон сохранения энергии в колебательной системе без затухания.

График потенциальной энергии $E_p(t)$

Это график функции $y = C \cdot \sin^2(\frac{\pi}{2}t)$, где $C=E_{полн}$.

• В момент времени $t=0$, $x=0$, поэтому $E_p=0$.
• Энергия достигает максимального значения $E_{полн}$ в моменты, когда маятник находится в крайних точках ($x = \pm A$), то есть при $t=1, 3, 5, ...$ с.
• Энергия равна нулю, когда маятник проходит положение равновесия ($x=0$), то есть при $t=0, 2, 4, ...$ с.
• График представляет собой синусоидальную кривую, смещенную вверх так, что она колеблется между $0$ и $E_{полн}$ с периодом $T_E=2$ с.

График кинетической энергии $E_k(t)$

Это график функции $y = C \cdot \cos^2(\frac{\pi}{2}t)$, где $C=E_{полн}$.

• В момент времени $t=0$, маятник проходит положение равновесия с максимальной скоростью, поэтому $E_k=E_{полн}$.
• Энергия равна нулю в моменты, когда маятник находится в крайних точках и его скорость равна нулю, то есть при $t=1, 3, 5, ...$ с.
• Энергия достигает максимального значения $E_{полн}$, когда маятник проходит положение равновесия, то есть при $t=0, 2, 4, ...$ с.
• График также является синусоидальной кривой, колеблющейся между $0$ и $E_{полн}$ с периодом $T_E=2$ с. Он сдвинут по фазе на половину периода ($1$ с) относительно графика потенциальной энергии. В любой момент времени сумма значений на графиках $E_k(t)$ и $E_p(t)$ равна $E_{полн}$.

Ответ:

Зависимости энергий от времени имеют вид:

$E_k(t) = (\frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4}) \cos^2(\frac{\pi}{2}t)$ Дж

$E_p(t) = (\frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4}) \sin^2(\frac{\pi}{2}t)$ Дж

$E_{полн}(t) = \frac{\pi^2}{8} \cdot 10^{-4} \approx 1.23 \cdot 10^{-4}$ Дж

График полной энергии - горизонтальная прямая. Графики кинетической и потенциальной энергий - синусоидальные кривые (вида $\cos^2$ и $\sin^2$ соответственно), колеблющиеся в противофазе от 0 до $E_{полн}$ с периодом 2 с.