Номер 112, страница 36 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

112. Маленький кубик массой $m = 10 \text{ г}$, прикрепленный к пружине, совершает свободные гармонические колебания вдоль горизонтальной оси $Ox$. Определите среднюю скорость движения кубика между крайними положениями, если максимальная потенциальная энергия пружины $(W_{\text{п}})_{\max} = 0,20 \text{ Дж}$.

Дано:

$m = 10 \text{ г}$

$(W_\text{п})_{\text{max}} = 0,20 \text{ Дж}$

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

Найти:

$v_{\text{ср}} - ?$

Решение:

Средняя скорость движения $v_{\text{ср}}$ определяется как отношение пройденного пути $S$ ко времени движения $\Delta t$:

$v_{\text{ср}} = \frac{S}{\Delta t}$

При движении кубика между двумя крайними положениями он проходит путь, равный двум амплитудам колебаний $A$. Время этого движения равно половине периода колебаний $T$.

$S = 2A$

$\Delta t = \frac{T}{2}$

Тогда средняя скорость равна:

$v_{\text{ср}} = \frac{2A}{T/2} = \frac{4A}{T}$

При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется. Максимальная потенциальная энергия пружины $(W_\text{п})_{\text{max}}$ в крайних точках равна максимальной кинетической энергии кубика $(W_\text{к})_{\text{max}}$ в положении равновесия.

$(W_\text{п})_{\text{max}} = (W_\text{к})_{\text{max}}$

Максимальная кинетическая энергия выражается через максимальную скорость $v_{\text{max}}$:

$(W_\text{к})_{\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2}$

Отсюда можем найти максимальную скорость:

$\frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = (W_\text{п})_{\text{max}} \implies v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2(W_\text{п})_{\text{max}}}{m}}$

Для гармонических колебаний максимальная скорость связана с амплитудой $A$ и периодом $T$ (или циклической частотой $\omega = 2\pi/T$) соотношением:

$v_{\text{max}} = A \cdot \omega = A \cdot \frac{2\pi}{T}$

Выразим из этой формулы отношение $\frac{A}{T}$:

$\frac{A}{T} = \frac{v_{\text{max}}}{2\pi}$

Подставим это выражение в формулу для средней скорости:

$v_{\text{ср}} = 4 \cdot \frac{A}{T} = 4 \cdot \frac{v_{\text{max}}}{2\pi} = \frac{2}{\pi} v_{\text{max}}$

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем максимальную скорость:

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,20 \text{ Дж}}{0,01 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0,4}{0,01}} = \sqrt{40} \approx 6,32 \text{ м/с}$

Затем вычислим среднюю скорость:

$v_{\text{ср}} = \frac{2}{\pi} \cdot v_{\text{max}} \approx \frac{2}{3,14} \cdot 6,32 \text{ м/с} \approx 4,025 \text{ м/с}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$v_{\text{ср}} \approx 4,0 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость движения кубика между крайними положениями составляет примерно $4,0 \text{ м/с}$.